Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100274 / 96698
↖ ↑ ↗
← S 64.692062°
E 95.410767°		 ← 130.56 m → S 64.692062°
E 95.413513°		 →
↑
130.54 m
↓
↑
130.54 m
↓
S 64.693236°
E 95.410767°		 ← 130.56 m →
17 044 m²		 S 64.693236°
E 95.413513°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100274 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765033721923828 y=0.737751007080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765033721923828 × 217)
    floor (0.765033721923828 × 131072)
    floor (100274.5)     		tx = 100274
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737751007080078 × 217)
    floor (0.737751007080078 × 131072)
    floor (96698.5)     		ty = 96698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100274 / 96698 ti = "17/100274/96698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100274/96698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100274 ÷ 217
    100274 ÷ 131072     		x = 0.765029907226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96698 ÷ 217
    96698 ÷ 131072     		y = 0.737747192382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765029907226562 × 2 - 1) × π
    0.530059814453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66523202
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737747192382812 × 2 - 1) × π
    -0.475494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49380966596019
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66523202} λ = 1.66523202}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49380966596019))-π/2
    2×atan(0.224515694409558)-π/2
    2×0.220853425531552-π/2
    0.441706851063105-1.57079632675     		φ = -1.12908948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66523202} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.410767°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12908948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.692062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100274 KachelY 96698 1.66523202 -1.12908948 95.410767 -64.692062
    Oben rechts KachelX + 1 100275 KachelY 96698 1.66527996 -1.12908948 95.413513 -64.692062
    Unten links KachelX 100274 KachelY + 1 96699 1.66523202 -1.12910997 95.410767 -64.693236
    Unten rechts KachelX + 1 100275 KachelY + 1 96699 1.66527996 -1.12910997 95.413513 -64.693236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12908948--1.12910997) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dl = 130.541790000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12908948--1.12910997) × R
    2.04900000000396e-05 × 6371000     		dr = 130.541790000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66523202-1.66527996) × cos(-1.12908948) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427483116342612 × 6371000     		do = 130.564347146363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66523202-1.66527996) × cos(-1.12910997) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.427464592814798 × 6371000     		du = 130.558689584173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12908948)-sin(-1.12910997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427483116342612-0.427464592814798)×R²
    abs(1.66527996-1.66523202)×1.85235278136742e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.85235278136742e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.85235278136742e-05×40589641000000     		ar = 17043.7343131683m²