Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100273 / 99567
↖ ↑ ↗
← S 67.857949°
E 95.408020°		 ← 115.12 m → S 67.857949°
E 95.410767°		 →
↑
115.12 m
↓
↑
115.12 m
↓
S 67.858985°
E 95.408020°		 ← 115.11 m →
13 252 m²		 S 67.858985°
E 95.410767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765026092529297 y=0.759639739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765026092529297 × 217)
    floor (0.765026092529297 × 131072)
    floor (100273.5)     		tx = 100273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759639739990234 × 217)
    floor (0.759639739990234 × 131072)
    floor (99567.5)     		ty = 99567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100273 / 99567 ti = "17/100273/99567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100273/99567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100273 ÷ 217
    100273 ÷ 131072     		x = 0.765022277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99567 ÷ 217
    99567 ÷ 131072     		y = 0.759635925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765022277832031 × 2 - 1) × π
    0.530044555664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66518408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759635925292969 × 2 - 1) × π
    -0.519271850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63134063097013
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66518408} λ = 1.66518408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63134063097013))-π/2
    2×atan(0.195667080864484)-π/2
    2×0.193225841162617-π/2
    0.386451682325233-1.57079632675     		φ = -1.18434464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66518408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.408020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18434464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.857949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100273 KachelY 99567 1.66518408 -1.18434464 95.408020 -67.857949
    Oben rechts KachelX + 1 100274 KachelY 99567 1.66523202 -1.18434464 95.410767 -67.857949
    Unten links KachelX 100273 KachelY + 1 99568 1.66518408 -1.18436271 95.408020 -67.858985
    Unten rechts KachelX + 1 100274 KachelY + 1 99568 1.66523202 -1.18436271 95.410767 -67.858985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18434464--1.18436271) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dl = 115.123970000587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18434464--1.18436271) × R
    1.80700000000922e-05 × 6371000     		dr = 115.123970000587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66518408-1.66523202) × cos(-1.18434464) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376904161595619 × 6371000     		do = 115.116232464346m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66518408-1.66523202) × cos(-1.18436271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37688742415571 × 6371000     		du = 115.111120419376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18434464)-sin(-1.18436271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376904161595619-0.37688742415571)×R²
    abs(1.66523202-1.66518408)×1.67374399089315e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67374399089315e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67374399089315e-05×40589641000000     		ar = 13252.3434337116m²