Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100273 / 102002
↖ ↑ ↗
← S 70.246460°
E 95.408020°		 ← 103.23 m → S 70.246460°
E 95.410767°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.247388°
E 95.408020°		 ← 103.22 m →
10 654 m²		 S 70.247388°
E 95.410767°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100273 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765026092529297 y=0.778217315673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765026092529297 × 217)
    floor (0.765026092529297 × 131072)
    floor (100273.5)     		tx = 100273
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778217315673828 × 217)
    floor (0.778217315673828 × 131072)
    floor (102002.5)     		ty = 102002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100273 / 102002 ti = "17/100273/102002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100273/102002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100273 ÷ 217
    100273 ÷ 131072     		x = 0.765022277832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102002 ÷ 217
    102002 ÷ 131072     		y = 0.778213500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765022277832031 × 2 - 1) × π
    0.530044555664062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66518408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778213500976562 × 2 - 1) × π
    -0.556427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74806698154497
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66518408} λ = 1.66518408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74806698154497))-π/2
    2×atan(0.174110176557843)-π/2
    2×0.172382153839728-π/2
    0.344764307679456-1.57079632675     		φ = -1.22603202
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66518408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.408020°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22603202 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.246460°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100273 KachelY 102002 1.66518408 -1.22603202 95.408020 -70.246460
    Oben rechts KachelX + 1 100274 KachelY 102002 1.66523202 -1.22603202 95.410767 -70.246460
    Unten links KachelX 100273 KachelY + 1 102003 1.66518408 -1.22604822 95.408020 -70.247388
    Unten rechts KachelX + 1 100274 KachelY + 1 102003 1.66523202 -1.22604822 95.410767 -70.247388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22603202--1.22604822) × R
    1.62000000001328e-05 × 6371000     		dl = 103.210200000846m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22603202--1.22604822) × R
    1.62000000001328e-05 × 6371000     		dr = 103.210200000846m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66518408-1.66523202) × cos(-1.22603202) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337974862766546 × 6371000     		do = 103.226222561803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66518408-1.66523202) × cos(-1.22604822) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337959616008976 × 6371000     		du = 103.22156580959m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22603202)-sin(-1.22604822))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337974862766546-0.337959616008976)×R²
    abs(1.66523202-1.66518408)×1.52467575699755e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52467575699755e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52467575699755e-05×40589641000000     		ar = 10653.7587638589m²