Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100272 / 99855
↖ ↑ ↗
← S 68.154187°
E 95.405274°		 ← 113.63 m → S 68.154187°
E 95.408020°		 →
↑
113.59 m
↓
↑
113.59 m
↓
S 68.155209°
E 95.405274°		 ← 113.62 m →
12 907 m²		 S 68.155209°
E 95.408020°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100272 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765018463134766 y=0.761837005615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765018463134766 × 217)
    floor (0.765018463134766 × 131072)
    floor (100272.5)     		tx = 100272
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761837005615234 × 217)
    floor (0.761837005615234 × 131072)
    floor (99855.5)     		ty = 99855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100272 / 99855 ti = "17/100272/99855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100272/99855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100272 ÷ 217
    100272 ÷ 131072     		x = 0.7650146484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99855 ÷ 217
    99855 ÷ 131072     		y = 0.761833190917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7650146484375 × 2 - 1) × π
    0.530029296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66513615
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761833190917969 × 2 - 1) × π
    -0.523666381835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.64514645806071
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66513615} λ = 1.66513615}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64514645806071))-π/2
    2×atan(0.192984296618078)-π/2
    2×0.19064068030878-π/2
    0.381281360617561-1.57079632675     		φ = -1.18951497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66513615} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.405274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18951497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.154187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100272 KachelY 99855 1.66513615 -1.18951497 95.405274 -68.154187
    Oben rechts KachelX + 1 100273 KachelY 99855 1.66518408 -1.18951497 95.408020 -68.154187
    Unten links KachelX 100272 KachelY + 1 99856 1.66513615 -1.18953280 95.405274 -68.155209
    Unten rechts KachelX + 1 100273 KachelY + 1 99856 1.66518408 -1.18953280 95.408020 -68.155209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18951497--1.18953280) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dl = 113.594929999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18951497--1.18953280) × R
    1.78299999999965e-05 × 6371000     		dr = 113.594929999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66513615-1.66518408) × cos(-1.18951497) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372110115325809 × 6371000     		do = 113.628300199493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66513615-1.66518408) × cos(-1.18953280) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.372093565664068 × 6371000     		du = 113.623246561188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18951497)-sin(-1.18953280))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372110115325809-0.372093565664068)×R²
    abs(1.66518408-1.66513615)×1.65496617406391e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.65496617406391e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.65496617406391e-05×40589641000000     		ar = 12907.3117736335m²