Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100271 / 99569
↖ ↑ ↗
← S 67.860020°
E 95.402527°		 ← 115.11 m → S 67.860020°
E 95.405274°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.861055°
E 95.402527°		 ← 115.10 m →
13 244 m²		 S 67.861055°
E 95.405274°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100271 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765010833740234 y=0.759654998779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765010833740234 × 217)
    floor (0.765010833740234 × 131072)
    floor (100271.5)     		tx = 100271
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759654998779297 × 217)
    floor (0.759654998779297 × 131072)
    floor (99569.5)     		ty = 99569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100271 / 99569 ti = "17/100271/99569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100271/99569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100271 ÷ 217
    100271 ÷ 131072     		x = 0.765007019042969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99569 ÷ 217
    99569 ÷ 131072     		y = 0.759651184082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.765007019042969 × 2 - 1) × π
    0.530014038085938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66508821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759651184082031 × 2 - 1) × π
    -0.519302368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.63143650476937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66508821} λ = 1.66508821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63143650476937))-π/2
    2×atan(0.195648322417291)-π/2
    2×0.193207774348067-π/2
    0.386415548696134-1.57079632675     		φ = -1.18438078
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66508821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.402527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18438078 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.860020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100271 KachelY 99569 1.66508821 -1.18438078 95.402527 -67.860020
    Oben rechts KachelX + 1 100272 KachelY 99569 1.66513615 -1.18438078 95.405274 -67.860020
    Unten links KachelX 100271 KachelY + 1 99570 1.66508821 -1.18439884 95.402527 -67.861055
    Unten rechts KachelX + 1 100272 KachelY + 1 99570 1.66513615 -1.18439884 95.405274 -67.861055
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18438078--1.18439884) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dl = 115.060260000974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18438078--1.18439884) × R
    1.8060000000153e-05 × 6371000     		dr = 115.060260000974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66508821-1.66513615) × cos(-1.18438078) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376870686592738 × 6371000     		do = 115.10600833682m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66508821-1.66513615) × cos(-1.18439884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376853958169435 × 6371000     		du = 115.100899045753m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18438078)-sin(-1.18439884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376870686592738-0.376853958169435)×R²
    abs(1.66513615-1.66508821)×1.67284233028031e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67284233028031e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67284233028031e-05×40589641000000     		ar = 13243.8333090509m²