Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100269 / 99707
↖ ↑ ↗
← S 68.002428°
E 95.397033°		 ← 114.40 m → S 68.002428°
E 95.399780°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 68.003457°
E 95.397033°		 ← 114.40 m →
13 090 m²		 S 68.003457°
E 95.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99707 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764995574951172 y=0.760707855224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764995574951172 × 217)
    floor (0.764995574951172 × 131072)
    floor (100269.5)     		tx = 100269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760707855224609 × 217)
    floor (0.760707855224609 × 131072)
    floor (99707.5)     		ty = 99707
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100269 / 99707 ti = "17/100269/99707"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100269/99707.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100269 ÷ 217
    100269 ÷ 131072     		x = 0.764991760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99707 ÷ 217
    99707 ÷ 131072     		y = 0.760704040527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764991760253906 × 2 - 1) × π
    0.529983520507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66499233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760704040527344 × 2 - 1) × π
    -0.521408081054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63805179691694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66499233} λ = 1.66499233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63805179691694))-π/2
    2×atan(0.194358323171678)-π/2
    2×0.191965032132746-π/2
    0.383930064265491-1.57079632675     		φ = -1.18686626
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66499233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.397033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18686626 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.002428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100269 KachelY 99707 1.66499233 -1.18686626 95.397033 -68.002428
    Oben rechts KachelX + 1 100270 KachelY 99707 1.66504027 -1.18686626 95.399780 -68.002428
    Unten links KachelX 100269 KachelY + 1 99708 1.66499233 -1.18688422 95.397033 -68.003457
    Unten rechts KachelX + 1 100270 KachelY + 1 99708 1.66504027 -1.18688422 95.399780 -68.003457
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18686626--1.18688422) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18686626--1.18688422) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66499233-1.66504027) × cos(-1.18686626) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374567309557172 × 6371000     		do = 114.402497701233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66499233-1.66504027) × cos(-1.18688422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374550656989696 × 6371000     		du = 114.397411578489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18686626)-sin(-1.18688422))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374567309557172-0.374550656989696)×R²
    abs(1.66504027-1.66499233)×1.66525674762386e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66525674762386e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66525674762386e-05×40589641000000     		ar = 13090.00431415m²