Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100269 / 99703
↖ ↑ ↗
← S 67.998312°
E 95.397033°		 ← 114.42 m → S 67.998312°
E 95.399780°		 →
↑
114.42 m
↓
↑
114.42 m
↓
S 67.999341°
E 95.397033°		 ← 114.42 m →
13 092 m²		 S 67.999341°
E 95.399780°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100269 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764995574951172 y=0.760677337646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764995574951172 × 217)
    floor (0.764995574951172 × 131072)
    floor (100269.5)     		tx = 100269
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760677337646484 × 217)
    floor (0.760677337646484 × 131072)
    floor (99703.5)     		ty = 99703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100269 / 99703 ti = "17/100269/99703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100269/99703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100269 ÷ 217
    100269 ÷ 131072     		x = 0.764991760253906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99703 ÷ 217
    99703 ÷ 131072     		y = 0.760673522949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764991760253906 × 2 - 1) × π
    0.529983520507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66499233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760673522949219 × 2 - 1) × π
    -0.521347045898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.63786004931846
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66499233} λ = 1.66499233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63786004931846))-π/2
    2×atan(0.194395594486619)-π/2
    2×0.192000946516013-π/2
    0.384001893032025-1.57079632675     		φ = -1.18679443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66499233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.397033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18679443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.998312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100269 KachelY 99703 1.66499233 -1.18679443 95.397033 -67.998312
    Oben rechts KachelX + 1 100270 KachelY 99703 1.66504027 -1.18679443 95.399780 -67.998312
    Unten links KachelX 100269 KachelY + 1 99704 1.66499233 -1.18681239 95.397033 -67.999341
    Unten rechts KachelX + 1 100270 KachelY + 1 99704 1.66504027 -1.18681239 95.399780 -67.999341
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18679443--1.18681239) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dl = 114.423160000602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18679443--1.18681239) × R
    1.79600000000946e-05 × 6371000     		dr = 114.423160000602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66499233-1.66504027) × cos(-1.18679443) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374633909347085 × 6371000     		do = 114.422838991351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66499233-1.66504027) × cos(-1.18681239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.374617257262857 × 6371000     		du = 114.417753016204m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18679443)-sin(-1.18681239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374633909347085-0.374617257262857)×R²
    abs(1.66504027-1.66499233)×1.66520842271867e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.66520842271867e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.66520842271867e-05×40589641000000     		ar = 13092.3318374199m²