Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100268 / 97404
↖ ↑ ↗
← S 65.508409°
E 95.394287°		 ← 126.59 m → S 65.508409°
E 95.397033°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.509547°
E 95.394287°		 ← 126.59 m →
16 025 m²		 S 65.509547°
E 95.397033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100268 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764987945556641 y=0.743137359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764987945556641 × 217)
    floor (0.764987945556641 × 131072)
    floor (100268.5)     		tx = 100268
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743137359619141 × 217)
    floor (0.743137359619141 × 131072)
    floor (97404.5)     		ty = 97404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100268 / 97404 ti = "17/100268/97404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100268/97404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100268 ÷ 217
    100268 ÷ 131072     		x = 0.764984130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97404 ÷ 217
    97404 ÷ 131072     		y = 0.743133544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764984130859375 × 2 - 1) × π
    0.52996826171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66494440
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743133544921875 × 2 - 1) × π
    -0.48626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52765311709195
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66494440} λ = 1.66494440}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52765311709195))-π/2
    2×atan(0.217044447963393)-π/2
    2×0.213729455706724-π/2
    0.427458911413447-1.57079632675     		φ = -1.14333742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66494440} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.394287°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14333742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.508409°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100268 KachelY 97404 1.66494440 -1.14333742 95.394287 -65.508409
    Oben rechts KachelX + 1 100269 KachelY 97404 1.66499233 -1.14333742 95.397033 -65.508409
    Unten links KachelX 100268 KachelY + 1 97405 1.66494440 -1.14335729 95.394287 -65.509547
    Unten rechts KachelX + 1 100269 KachelY + 1 97405 1.66499233 -1.14335729 95.397033 -65.509547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14333742--1.14335729) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14333742--1.14335729) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66494440-1.66499233) × cos(-1.14333742) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414559692325891 × 6371000     		do = 126.590789204887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66494440-1.66499233) × cos(-1.14335729) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414541610104502 × 6371000     		du = 126.585267581057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14333742)-sin(-1.14335729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414559692325891-0.414541610104502)×R²
    abs(1.66499233-1.66494440)×1.80822213893261e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80822213893261e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80822213893261e-05×40589641000000     		ar = 16025.0025756403m²