Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100267 / 96865
↖ ↑ ↗
← S 64.887431°
E 95.391540°		 ← 129.62 m → S 64.887431°
E 95.394287°		 →
↑
129.59 m
↓
↑
129.59 m
↓
S 64.888597°
E 95.391540°		 ← 129.62 m →
16 797 m²		 S 64.888597°
E 95.394287°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100267 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764980316162109 y=0.739025115966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764980316162109 × 217)
    floor (0.764980316162109 × 131072)
    floor (100267.5)     		tx = 100267
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739025115966797 × 217)
    floor (0.739025115966797 × 131072)
    floor (96865.5)     		ty = 96865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100267 / 96865 ti = "17/100267/96865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100267/96865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100267 ÷ 217
    100267 ÷ 131072     		x = 0.764976501464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96865 ÷ 217
    96865 ÷ 131072     		y = 0.739021301269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764976501464844 × 2 - 1) × π
    0.529953002929688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66489646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739021301269531 × 2 - 1) × π
    -0.478042602539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.50181512819674
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66489646} λ = 1.66489646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.50181512819674))-π/2
    2×atan(0.2227255176533)-π/2
    2×0.219148505665796-π/2
    0.438297011331593-1.57079632675     		φ = -1.13249932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66489646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.391540°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13249932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.887431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100267 KachelY 96865 1.66489646 -1.13249932 95.391540 -64.887431
    Oben rechts KachelX + 1 100268 KachelY 96865 1.66494440 -1.13249932 95.394287 -64.887431
    Unten links KachelX 100267 KachelY + 1 96866 1.66489646 -1.13251966 95.391540 -64.888597
    Unten rechts KachelX + 1 100268 KachelY + 1 96866 1.66494440 -1.13251966 95.394287 -64.888597
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13249932--1.13251966) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dl = 129.586140000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13249932--1.13251966) × R
    2.03400000000631e-05 × 6371000     		dr = 129.586140000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66489646-1.66494440) × cos(-1.13249932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424398062224334 × 6371000     		do = 129.622092209348m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66489646-1.66494440) × cos(-1.13251966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424379644760341 × 6371000     		du = 129.616467041779m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13249932)-sin(-1.13251966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424398062224334-0.424379644760341)×R²
    abs(1.66494440-1.66489646)×1.84174639928369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84174639928369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84174639928369e-05×40589641000000     		ar = 16796.8621169064m²