Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100266 / 96878
↖ ↑ ↗
← S 64.902580°
E 95.388794°		 ← 129.55 m → S 64.902580°
E 95.391540°		 →
↑
129.52 m
↓
↑
129.52 m
↓
S 64.903745°
E 95.388794°		 ← 129.54 m →
16 779 m²		 S 64.903745°
E 95.391540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100266 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764972686767578 y=0.739124298095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764972686767578 × 217)
    floor (0.764972686767578 × 131072)
    floor (100266.5)     		tx = 100266
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.739124298095703 × 217)
    floor (0.739124298095703 × 131072)
    floor (96878.5)     		ty = 96878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100266 / 96878 ti = "17/100266/96878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100266/96878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100266 ÷ 217
    100266 ÷ 131072     		x = 0.764968872070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96878 ÷ 217
    96878 ÷ 131072     		y = 0.739120483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764968872070312 × 2 - 1) × π
    0.529937744140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66484852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.739120483398438 × 2 - 1) × π
    -0.478240966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5024383078918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66484852} λ = 1.66484852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5024383078918))-π/2
    2×atan(0.222586762872199)-π/2
    2×0.219016304840814-π/2
    0.438032609681628-1.57079632675     		φ = -1.13276372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66484852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.388794°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13276372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.902580°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100266 KachelY 96878 1.66484852 -1.13276372 95.388794 -64.902580
    Oben rechts KachelX + 1 100267 KachelY 96878 1.66489646 -1.13276372 95.391540 -64.902580
    Unten links KachelX 100266 KachelY + 1 96879 1.66484852 -1.13278405 95.388794 -64.903745
    Unten rechts KachelX + 1 100267 KachelY + 1 96879 1.66489646 -1.13278405 95.391540 -64.903745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13276372--1.13278405) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dl = 129.522429999374m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13276372--1.13278405) × R
    2.03299999999018e-05 × 6371000     		dr = 129.522429999374m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66484852-1.66489646) × cos(-1.13276372) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424158639611712 × 6371000     		do = 129.548966380715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66484852-1.66489646) × cos(-1.13278405) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.424140228922009 × 6371000     		du = 129.543343282189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13276372)-sin(-1.13278405))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424158639611712-0.424140228922009)×R²
    abs(1.66489646-1.66484852)×1.84106897027636e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84106897027636e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84106897027636e-05×40589641000000     		ar = 16779.1327713449m²