Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100265 / 101913
↖ ↑ ↗
← S 70.163678°
E 95.386048°		 ← 103.62 m → S 70.163678°
E 95.388794°		 →
↑
103.66 m
↓
↑
103.66 m
↓
S 70.164610°
E 95.386048°		 ← 103.62 m →
10 741 m²		 S 70.164610°
E 95.388794°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100265 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101913 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764965057373047 y=0.777538299560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764965057373047 × 217)
    floor (0.764965057373047 × 131072)
    floor (100265.5)     		tx = 100265
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777538299560547 × 217)
    floor (0.777538299560547 × 131072)
    floor (101913.5)     		ty = 101913
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100265 / 101913 ti = "17/100265/101913"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100265/101913.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100265 ÷ 217
    100265 ÷ 131072     		x = 0.764961242675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101913 ÷ 217
    101913 ÷ 131072     		y = 0.777534484863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764961242675781 × 2 - 1) × π
    0.529922485351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66480059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777534484863281 × 2 - 1) × π
    -0.555068969726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.74380059747878
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66480059} λ = 1.66480059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74380059747878))-π/2
    2×atan(0.174854584276341)-π/2
    2×0.173104568270848-π/2
    0.346209136541696-1.57079632675     		φ = -1.22458719
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66480059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.386048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22458719 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.163678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100265 KachelY 101913 1.66480059 -1.22458719 95.386048 -70.163678
    Oben rechts KachelX + 1 100266 KachelY 101913 1.66484852 -1.22458719 95.388794 -70.163678
    Unten links KachelX 100265 KachelY + 1 101914 1.66480059 -1.22460346 95.386048 -70.164610
    Unten rechts KachelX + 1 100266 KachelY + 1 101914 1.66484852 -1.22460346 95.388794 -70.164610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22458719--1.22460346) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dl = 103.65616999955m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22458719--1.22460346) × R
    1.62699999999294e-05 × 6371000     		dr = 103.65616999955m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66480059-1.66484852) × cos(-1.22458719) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33933431870331 × 6371000     		do = 103.619816407973m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66480059-1.66484852) × cos(-1.22460346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.339319014025201 × 6371000     		du = 103.615142940397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22458719)-sin(-1.22460346))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33933431870331-0.339319014025201)×R²
    abs(1.66484852-1.66480059)×1.5304678108452e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.5304678108452e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.5304678108452e-05×40589641000000     		ar = 10740.591088454m²