Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100264 / 101479
↖ ↑ ↗
← S 69.755205°
E 95.383301°		 ← 105.69 m → S 69.755205°
E 95.386048°		 →
↑
105.69 m
↓
↑
105.69 m
↓
S 69.756156°
E 95.383301°		 ← 105.68 m →
11 170 m²		 S 69.756156°
E 95.386048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100264 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101479 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764957427978516 y=0.774227142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764957427978516 × 217)
    floor (0.764957427978516 × 131072)
    floor (100264.5)     		tx = 100264
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774227142333984 × 217)
    floor (0.774227142333984 × 131072)
    floor (101479.5)     		ty = 101479
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100264 / 101479 ti = "17/100264/101479"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100264/101479.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100264 ÷ 217
    100264 ÷ 131072     		x = 0.76495361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101479 ÷ 217
    101479 ÷ 131072     		y = 0.774223327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76495361328125 × 2 - 1) × π
    0.5299072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66475265
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774223327636719 × 2 - 1) × π
    -0.548446655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.72299598304368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66475265} λ = 1.66475265}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72299598304368))-π/2
    2×atan(0.178530471607897)-π/2
    2×0.176669164491566-π/2
    0.353338328983132-1.57079632675     		φ = -1.21745800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66475265} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.383301°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21745800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.755205°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100264 KachelY 101479 1.66475265 -1.21745800 95.383301 -69.755205
    Oben rechts KachelX + 1 100265 KachelY 101479 1.66480059 -1.21745800 95.386048 -69.755205
    Unten links KachelX 100264 KachelY + 1 101480 1.66475265 -1.21747459 95.383301 -69.756156
    Unten rechts KachelX + 1 100265 KachelY + 1 101480 1.66480059 -1.21747459 95.386048 -69.756156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21745800--1.21747459) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dl = 105.694889999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21745800--1.21747459) × R
    1.6589999999983e-05 × 6371000     		dr = 105.694889999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66475265-1.66480059) × cos(-1.21745800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346031824030642 × 6371000     		do = 105.687025918039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66475265-1.66480059) × cos(-1.21747459) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.346016258867176 × 6371000     		du = 105.68227191647m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21745800)-sin(-1.21747459))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.346031824030642-0.346016258867176)×R²
    abs(1.66480059-1.66475265)×1.55651634662357e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55651634662357e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55651634662357e-05×40589641000000     		ar = 11170.3273421596m²