Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100262 / 99102
↖ ↑ ↗
← S 67.371584°
E 95.377808°		 ← 117.49 m → S 67.371584°
E 95.380554°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 67.372642°
E 95.377808°		 ← 117.48 m →
13 810 m²		 S 67.372642°
E 95.380554°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100262 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764942169189453 y=0.756092071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764942169189453 × 217)
    floor (0.764942169189453 × 131072)
    floor (100262.5)     		tx = 100262
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756092071533203 × 217)
    floor (0.756092071533203 × 131072)
    floor (99102.5)     		ty = 99102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100262 / 99102 ti = "17/100262/99102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100262/99102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100262 ÷ 217
    100262 ÷ 131072     		x = 0.764938354492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99102 ÷ 217
    99102 ÷ 131072     		y = 0.756088256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764938354492188 × 2 - 1) × π
    0.529876708984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66465678
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756088256835938 × 2 - 1) × π
    -0.512176513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6090499726468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66465678} λ = 1.66465678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6090499726468))-π/2
    2×atan(0.200077603009133)-π/2
    2×0.197470177014194-π/2
    0.394940354028388-1.57079632675     		φ = -1.17585597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66465678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.377808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17585597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.371584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100262 KachelY 99102 1.66465678 -1.17585597 95.377808 -67.371584
    Oben rechts KachelX + 1 100263 KachelY 99102 1.66470471 -1.17585597 95.380554 -67.371584
    Unten links KachelX 100262 KachelY + 1 99103 1.66465678 -1.17587442 95.377808 -67.372642
    Unten rechts KachelX + 1 100263 KachelY + 1 99103 1.66470471 -1.17587442 95.380554 -67.372642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17585597--1.17587442) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17585597--1.17587442) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66465678-1.66470471) × cos(-1.17585597) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384753137650438 × 6371000     		do = 117.488999161879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66465678-1.66470471) × cos(-1.17587442) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.384736107874922 × 6371000     		du = 117.483798915057m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17585597)-sin(-1.17587442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.384753137650438-0.384736107874922)×R²
    abs(1.66470471-1.66465678)×1.70297755162085e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.70297755162085e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.70297755162085e-05×40589641000000     		ar = 13809.9329010496m²