Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100259 / 97645
↖ ↑ ↗
← S 65.781378°
E 95.369568°		 ← 125.27 m → S 65.781378°
E 95.372314°		 →
↑
125.32 m
↓
↑
125.32 m
↓
S 65.782505°
E 95.369568°		 ← 125.26 m →
15 698 m²		 S 65.782505°
E 95.372314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100259 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764919281005859 y=0.744976043701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764919281005859 × 217)
    floor (0.764919281005859 × 131072)
    floor (100259.5)     		tx = 100259
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744976043701172 × 217)
    floor (0.744976043701172 × 131072)
    floor (97645.5)     		ty = 97645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100259 / 97645 ti = "17/100259/97645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100259/97645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100259 ÷ 217
    100259 ÷ 131072     		x = 0.764915466308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97645 ÷ 217
    97645 ÷ 131072     		y = 0.744972229003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764915466308594 × 2 - 1) × π
    0.529830932617188 × 3.1415926535     		Λ = 1.66451297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744972229003906 × 2 - 1) × π
    -0.489944458007812 × 3.1415926535     		Φ = -1.53920590990038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66451297} λ = 1.66451297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53920590990038))-π/2
    2×atan(0.214551406947181)-π/2
    2×0.211347347495716-π/2
    0.422694694991432-1.57079632675     		φ = -1.14810163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66451297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.369568°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14810163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.781378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100259 KachelY 97645 1.66451297 -1.14810163 95.369568 -65.781378
    Oben rechts KachelX + 1 100260 KachelY 97645 1.66456090 -1.14810163 95.372314 -65.781378
    Unten links KachelX 100259 KachelY + 1 97646 1.66451297 -1.14812130 95.369568 -65.782505
    Unten rechts KachelX + 1 100260 KachelY + 1 97646 1.66456090 -1.14812130 95.372314 -65.782505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14810163--1.14812130) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dl = 125.317569999466m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14810163--1.14812130) × R
    1.96699999999161e-05 × 6371000     		dr = 125.317569999466m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66451297-1.66456090) × cos(-1.14810163) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.410219467469605 × 6371000     		do = 125.265449331534m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66451297-1.66456090) × cos(-1.14812130) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.410201528609189 × 6371000     		du = 125.259971484701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14810163)-sin(-1.14812130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410219467469605-0.410201528609189)×R²
    abs(1.66456090-1.66451297)×1.79388604160113e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.79388604160113e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.79388604160113e-05×40589641000000     		ar = 15697.6184803666m²