Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100256 / 97432
↖ ↑ ↗
← S 65.540270°
E 95.361328°		 ← 126.46 m → S 65.540270°
E 95.364075°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
S 65.541408°
E 95.361328°		 ← 126.46 m →
15 993 m²		 S 65.541408°
E 95.364075°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100256 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764896392822266 y=0.743350982666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764896392822266 × 217)
    floor (0.764896392822266 × 131072)
    floor (100256.5)     		tx = 100256
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743350982666016 × 217)
    floor (0.743350982666016 × 131072)
    floor (97432.5)     		ty = 97432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100256 / 97432 ti = "17/100256/97432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100256/97432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100256 ÷ 217
    100256 ÷ 131072     		x = 0.764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97432 ÷ 217
    97432 ÷ 131072     		y = 0.74334716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764892578125 × 2 - 1) × π
    0.52978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66436915
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.4866943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52899535028131
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66436915} λ = 1.66436915}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52899535028131))-π/2
    2×atan(0.216753319126871)-π/2
    2×0.213451407676348-π/2
    0.426902815352695-1.57079632675     		φ = -1.14389351
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66436915} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.361328°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14389351 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.540270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100256 KachelY 97432 1.66436915 -1.14389351 95.361328 -65.540270
    Oben rechts KachelX + 1 100257 KachelY 97432 1.66441709 -1.14389351 95.364075 -65.540270
    Unten links KachelX 100256 KachelY + 1 97433 1.66436915 -1.14391336 95.361328 -65.541408
    Unten rechts KachelX + 1 100257 KachelY + 1 97433 1.66441709 -1.14391336 95.364075 -65.541408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14389351--1.14391336) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dl = 126.464349999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14389351--1.14391336) × R
    1.98499999999324e-05 × 6371000     		dr = 126.464349999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66436915-1.66441709) × cos(-1.14389351) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414053574052058 × 6371000     		do = 126.462619254412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66436915-1.66441709) × cos(-1.14391336) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414035505458098 × 6371000     		du = 126.457100640731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14389351)-sin(-1.14391336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414053574052058-0.414035505458098)×R²
    abs(1.66441709-1.66436915)×1.80685939593084e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80685939593084e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80685939593084e-05×40589641000000     		ar = 15992.6639898481m²