Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100255 / 97435
↖ ↑ ↗
← S 65.543682°
E 95.358582°		 ← 126.42 m → S 65.543682°
E 95.361328°		 →
↑
126.46 m
↓
↑
126.46 m
↓
S 65.544819°
E 95.358582°		 ← 126.41 m →
15 987 m²		 S 65.544819°
E 95.361328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100255 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97435 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764888763427734 y=0.743373870849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764888763427734 × 217)
    floor (0.764888763427734 × 131072)
    floor (100255.5)     		tx = 100255
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743373870849609 × 217)
    floor (0.743373870849609 × 131072)
    floor (97435.5)     		ty = 97435
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100255 / 97435 ti = "17/100255/97435"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100255/97435.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100255 ÷ 217
    100255 ÷ 131072     		x = 0.764884948730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97435 ÷ 217
    97435 ÷ 131072     		y = 0.743370056152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764884948730469 × 2 - 1) × π
    0.529769897460938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66432122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743370056152344 × 2 - 1) × π
    -0.486740112304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.52913916098017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66432122} λ = 1.66432122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52913916098017))-π/2
    2×atan(0.216722149921853)-π/2
    2×0.213421636958131-π/2
    0.426843273916262-1.57079632675     		φ = -1.14395305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66432122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.358582°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14395305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.543682°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100255 KachelY 97435 1.66432122 -1.14395305 95.358582 -65.543682
    Oben rechts KachelX + 1 100256 KachelY 97435 1.66436915 -1.14395305 95.361328 -65.543682
    Unten links KachelX 100255 KachelY + 1 97436 1.66432122 -1.14397290 95.358582 -65.544819
    Unten rechts KachelX + 1 100256 KachelY + 1 97436 1.66436915 -1.14397290 95.361328 -65.544819
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14395305--1.14397290) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dl = 126.464350000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14395305--1.14397290) × R
    1.98500000001545e-05 × 6371000     		dr = 126.464350000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66432122-1.66436915) × cos(-1.14395305) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413999376883541 × 6371000     		do = 126.41969014397m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66432122-1.66436915) × cos(-1.14397290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.413981307800267 × 6371000     		du = 126.414172532022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14395305)-sin(-1.14397290))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413999376883541-0.413981307800267)×R²
    abs(1.66436915-1.66432122)×1.80690832738417e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80690832738417e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80690832738417e-05×40589641000000     		ar = 15987.2350513482m²