Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100254 / 101542
↖ ↑ ↗
← S 69.814996°
E 95.355835°		 ← 105.39 m → S 69.814996°
E 95.358582°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.815943°
E 95.355835°		 ← 105.38 m →
11 105 m²		 S 69.815943°
E 95.358582°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100254 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764881134033203 y=0.774707794189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764881134033203 × 217)
    floor (0.764881134033203 × 131072)
    floor (100254.5)     		tx = 100254
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774707794189453 × 217)
    floor (0.774707794189453 × 131072)
    floor (101542.5)     		ty = 101542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100254 / 101542 ti = "17/100254/101542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100254/101542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100254 ÷ 217
    100254 ÷ 131072     		x = 0.764877319335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101542 ÷ 217
    101542 ÷ 131072     		y = 0.774703979492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764877319335938 × 2 - 1) × π
    0.529754638671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66427328
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774703979492188 × 2 - 1) × π
    -0.549407958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72601600771974
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66427328} λ = 1.66427328}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72601600771974))-π/2
    2×atan(0.177992118507209)-π/2
    2×0.176147391818754-π/2
    0.352294783637508-1.57079632675     		φ = -1.21850154
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66427328} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.355835°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21850154 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.814996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100254 KachelY 101542 1.66427328 -1.21850154 95.355835 -69.814996
    Oben rechts KachelX + 1 100255 KachelY 101542 1.66432122 -1.21850154 95.358582 -69.814996
    Unten links KachelX 100254 KachelY + 1 101543 1.66427328 -1.21851808 95.355835 -69.815943
    Unten rechts KachelX + 1 100255 KachelY + 1 101543 1.66432122 -1.21851808 95.358582 -69.815943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21850154--1.21851808) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dl = 105.376339998998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21850154--1.21851808) × R
    1.65399999998428e-05 × 6371000     		dr = 105.376339998998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66427328-1.66432122) × cos(-1.21850154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345052562802921 × 6371000     		do = 105.387934332909m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66427328-1.66432122) × cos(-1.21851808) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345037038586903 × 6371000     		du = 105.383192837744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21850154)-sin(-1.21851808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345052562802921-0.345037038586903)×R²
    abs(1.66432122-1.66427328)×1.55242160179703e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55242160179703e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55242160179703e-05×40589641000000     		ar = 11105.1449795787m²