Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100253 / 101541
↖ ↑ ↗
← S 69.814048°
E 95.353088°		 ← 105.39 m → S 69.814048°
E 95.355835°		 →
↑
105.38 m
↓
↑
105.38 m
↓
S 69.814996°
E 95.353088°		 ← 105.39 m →
11 106 m²		 S 69.814996°
E 95.355835°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100253 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764873504638672 y=0.774700164794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764873504638672 × 217)
    floor (0.764873504638672 × 131072)
    floor (100253.5)     		tx = 100253
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774700164794922 × 217)
    floor (0.774700164794922 × 131072)
    floor (101541.5)     		ty = 101541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100253 / 101541 ti = "17/100253/101541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100253/101541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100253 ÷ 217
    100253 ÷ 131072     		x = 0.764869689941406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101541 ÷ 217
    101541 ÷ 131072     		y = 0.774696350097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764869689941406 × 2 - 1) × π
    0.529739379882812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66422534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774696350097656 × 2 - 1) × π
    -0.549392700195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.72596807082012
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66422534} λ = 1.66422534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72596807082012))-π/2
    2×atan(0.178000651102038)-π/2
    2×0.176155662379772-π/2
    0.352311324759545-1.57079632675     		φ = -1.21848500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66422534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.353088°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21848500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.814048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100253 KachelY 101541 1.66422534 -1.21848500 95.353088 -69.814048
    Oben rechts KachelX + 1 100254 KachelY 101541 1.66427328 -1.21848500 95.355835 -69.814048
    Unten links KachelX 100253 KachelY + 1 101542 1.66422534 -1.21850154 95.353088 -69.814996
    Unten rechts KachelX + 1 100254 KachelY + 1 101542 1.66427328 -1.21850154 95.355835 -69.814996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21848500--1.21850154) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dl = 105.376340000413m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21848500--1.21850154) × R
    1.65400000000648e-05 × 6371000     		dr = 105.376340000413m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66422534-1.66427328) × cos(-1.21848500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345068086924542 × 6371000     		do = 105.392675799243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66422534-1.66427328) × cos(-1.21850154) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345052562802921 × 6371000     		du = 105.387934332909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21848500)-sin(-1.21850154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345068086924542-0.345052562802921)×R²
    abs(1.66427328-1.66422534)×1.55241216215352e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55241216215352e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55241216215352e-05×40589641000000     		ar = 11105.6446196129m²