Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100251 / 101911
↖ ↑ ↗
← S 70.161814°
E 95.347595°		 ← 103.65 m → S 70.161814°
E 95.350342°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
S 70.162745°
E 95.347595°		 ← 103.65 m →
10 737 m²		 S 70.162745°
E 95.350342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100251 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101911 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764858245849609 y=0.777523040771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764858245849609 × 217)
    floor (0.764858245849609 × 131072)
    floor (100251.5)     		tx = 100251
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777523040771484 × 217)
    floor (0.777523040771484 × 131072)
    floor (101911.5)     		ty = 101911
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100251 / 101911 ti = "17/100251/101911"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100251/101911.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100251 ÷ 217
    100251 ÷ 131072     		x = 0.764854431152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101911 ÷ 217
    101911 ÷ 131072     		y = 0.777519226074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764854431152344 × 2 - 1) × π
    0.529708862304688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66412947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777519226074219 × 2 - 1) × π
    -0.555038452148438 × 3.1415926535     		Φ = -1.74370472367954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66412947} λ = 1.66412947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74370472367954))-π/2
    2×atan(0.174871349053288)-π/2
    2×0.173120835639534-π/2
    0.346241671279068-1.57079632675     		φ = -1.22455466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66412947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.347595°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22455466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.161814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100251 KachelY 101911 1.66412947 -1.22455466 95.347595 -70.161814
    Oben rechts KachelX + 1 100252 KachelY 101911 1.66417741 -1.22455466 95.350342 -70.161814
    Unten links KachelX 100251 KachelY + 1 101912 1.66412947 -1.22457092 95.347595 -70.162745
    Unten rechts KachelX + 1 100252 KachelY + 1 101912 1.66417741 -1.22457092 95.350342 -70.162745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22455466--1.22457092) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22455466--1.22457092) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66412947-1.66417741) × cos(-1.22455466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339364918383496 × 6371000     		do = 103.650781327251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66412947-1.66417741) × cos(-1.22457092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339349623291592 × 6371000     		du = 103.646109812488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22455466)-sin(-1.22457092))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339364918383496-0.339349623291592)×R²
    abs(1.66417741-1.66412947)×1.52950919041217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52950919041217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52950919041217e-05×40589641000000     		ar = 10737.197452088m²