Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100250 / 97646
↖ ↑ ↗
← S 65.782505°
E 95.344848°		 ← 125.29 m → S 65.782505°
E 95.347595°		 →
↑
125.25 m
↓
↑
125.25 m
↓
S 65.783631°
E 95.344848°		 ← 125.28 m →
15 692 m²		 S 65.783631°
E 95.347595°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100250 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97646 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764850616455078 y=0.744983673095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764850616455078 × 217)
    floor (0.764850616455078 × 131072)
    floor (100250.5)     		tx = 100250
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744983673095703 × 217)
    floor (0.744983673095703 × 131072)
    floor (97646.5)     		ty = 97646
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100250 / 97646 ti = "17/100250/97646"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100250/97646.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100250 ÷ 217
    100250 ÷ 131072     		x = 0.764846801757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97646 ÷ 217
    97646 ÷ 131072     		y = 0.744979858398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764846801757812 × 2 - 1) × π
    0.529693603515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66408153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744979858398438 × 2 - 1) × π
    -0.489959716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.5392538468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66408153} λ = 1.66408153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5392538468))-π/2
    2×atan(0.214541122264432)-π/2
    2×0.21133751538596-π/2
    0.42267503077192-1.57079632675     		φ = -1.14812130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66408153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.344848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14812130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.782505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100250 KachelY 97646 1.66408153 -1.14812130 95.344848 -65.782505
    Oben rechts KachelX + 1 100251 KachelY 97646 1.66412947 -1.14812130 95.347595 -65.782505
    Unten links KachelX 100250 KachelY + 1 97647 1.66408153 -1.14814096 95.344848 -65.783631
    Unten rechts KachelX + 1 100251 KachelY + 1 97647 1.66412947 -1.14814096 95.347595 -65.783631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14812130--1.14814096) × R
    1.9660000000199e-05 × 6371000     		dl = 125.253860001268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14812130--1.14814096) × R
    1.9660000000199e-05 × 6371000     		dr = 125.253860001268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66408153-1.66412947) × cos(-1.14812130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410201528609189 × 6371000     		do = 125.286105424511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66408153-1.66412947) × cos(-1.14814096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.410183598710092 × 6371000     		du = 125.280629171811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14812130)-sin(-1.14814096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410201528609189-0.410183598710092)×R²
    abs(1.66412947-1.66408153)×1.79298990971022e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79298990971022e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79298990971022e-05×40589641000000     		ar = 15692.2253483997m²