Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100249 / 97383
↖ ↑ ↗
← S 65.484487°
E 95.342102°		 ← 126.71 m → S 65.484487°
E 95.344848°		 →
↑
126.72 m
↓
↑
126.72 m
↓
S 65.485626°
E 95.342102°		 ← 126.70 m →
16 056 m²		 S 65.485626°
E 95.344848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100249 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97383 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764842987060547 y=0.742977142333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764842987060547 × 217)
    floor (0.764842987060547 × 131072)
    floor (100249.5)     		tx = 100249
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742977142333984 × 217)
    floor (0.742977142333984 × 131072)
    floor (97383.5)     		ty = 97383
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100249 / 97383 ti = "17/100249/97383"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100249/97383.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100249 ÷ 217
    100249 ÷ 131072     		x = 0.764839172363281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97383 ÷ 217
    97383 ÷ 131072     		y = 0.742973327636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764839172363281 × 2 - 1) × π
    0.529678344726562 × 3.1415926535     		Λ = 1.66403360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742973327636719 × 2 - 1) × π
    -0.485946655273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.52664644219993
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66403360} λ = 1.66403360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52664644219993))-π/2
    2×atan(0.21726305117233)-π/2
    2×0.213938214726628-π/2
    0.427876429453256-1.57079632675     		φ = -1.14291990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66403360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.342102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14291990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.484487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100249 KachelY 97383 1.66403360 -1.14291990 95.342102 -65.484487
    Oben rechts KachelX + 1 100250 KachelY 97383 1.66408153 -1.14291990 95.344848 -65.484487
    Unten links KachelX 100249 KachelY + 1 97384 1.66403360 -1.14293979 95.342102 -65.485626
    Unten rechts KachelX + 1 100250 KachelY + 1 97384 1.66408153 -1.14293979 95.344848 -65.485626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14291990--1.14293979) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dl = 126.719189999435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14291990--1.14293979) × R
    1.98899999999114e-05 × 6371000     		dr = 126.719189999435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66403360-1.66408153) × cos(-1.14291990) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414939608617359 × 6371000     		do = 126.70680121488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66403360-1.66408153) × cos(-1.14293979) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414921511639565 × 6371000     		du = 126.701275085004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14291990)-sin(-1.14293979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414939608617359-0.414921511639565)×R²
    abs(1.66408153-1.66403360)×1.80969777943685e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80969777943685e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80969777943685e-05×40589641000000     		ar = 16055.833084381m²