Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100248 / 97400
↖ ↑ ↗
← S 65.503854°
E 95.339355°		 ← 126.64 m → S 65.503854°
E 95.342102°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.504992°
E 95.339355°		 ← 126.63 m →
16 031 m²		 S 65.504992°
E 95.342102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764835357666016 y=0.743106842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764835357666016 × 217)
    floor (0.764835357666016 × 131072)
    floor (100248.5)     		tx = 100248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743106842041016 × 217)
    floor (0.743106842041016 × 131072)
    floor (97400.5)     		ty = 97400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100248 / 97400 ti = "17/100248/97400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100248/97400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100248 ÷ 217
    100248 ÷ 131072     		x = 0.76483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97400 ÷ 217
    97400 ÷ 131072     		y = 0.74310302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    0.5296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66398566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74310302734375 × 2 - 1) × π
    -0.4862060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52746136949347
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66398566} λ = 1.66398566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52746136949347))-π/2
    2×atan(0.21708606970536)-π/2
    2×0.213769204587681-π/2
    0.427538409175361-1.57079632675     		φ = -1.14325792
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66398566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14325792 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.503854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100248 KachelY 97400 1.66398566 -1.14325792 95.339355 -65.503854
    Oben rechts KachelX + 1 100249 KachelY 97400 1.66403360 -1.14325792 95.342102 -65.503854
    Unten links KachelX 100248 KachelY + 1 97401 1.66398566 -1.14327779 95.339355 -65.504992
    Unten rechts KachelX + 1 100249 KachelY + 1 97401 1.66403360 -1.14327779 95.342102 -65.504992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14325792--1.14327779) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14325792--1.14327779) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66398566-1.66403360) × cos(-1.14325792) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414632037774409 × 6371000     		do = 126.639296964874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66398566-1.66403360) × cos(-1.14327779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414613956207928 × 6371000     		du = 126.633774389051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14325792)-sin(-1.14327779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414632037774409-0.414613956207928)×R²
    abs(1.66403360-1.66398566)×1.80815664809764e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80815664809764e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80815664809764e-05×40589641000000     		ar = 16031.1431985523m²