Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100248 / 101496
↖ ↑ ↗
← S 69.771356°
E 95.339355°		 ← 105.61 m → S 69.771356°
E 95.342102°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.772306°
E 95.339355°		 ← 105.60 m →
11 155 m²		 S 69.772306°
E 95.342102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100248 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101496 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764835357666016 y=0.774356842041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764835357666016 × 217)
    floor (0.764835357666016 × 131072)
    floor (100248.5)     		tx = 100248
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774356842041016 × 217)
    floor (0.774356842041016 × 131072)
    floor (101496.5)     		ty = 101496
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100248 / 101496 ti = "17/100248/101496"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100248/101496.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100248 ÷ 217
    100248 ÷ 131072     		x = 0.76483154296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101496 ÷ 217
    101496 ÷ 131072     		y = 0.77435302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76483154296875 × 2 - 1) × π
    0.5296630859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66398566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77435302734375 × 2 - 1) × π
    -0.5487060546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72381091033722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66398566} λ = 1.66398566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72381091033722))-π/2
    2×atan(0.178385041519377)-π/2
    2×0.176528222991307-π/2
    0.353056445982614-1.57079632675     		φ = -1.21773988
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66398566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.339355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21773988 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.771356°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100248 KachelY 101496 1.66398566 -1.21773988 95.339355 -69.771356
    Oben rechts KachelX + 1 100249 KachelY 101496 1.66403360 -1.21773988 95.342102 -69.771356
    Unten links KachelX 100248 KachelY + 1 101497 1.66398566 -1.21775646 95.339355 -69.772306
    Unten rechts KachelX + 1 100249 KachelY + 1 101497 1.66403360 -1.21775646 95.342102 -69.772306
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21773988--1.21775646) × R
    1.65799999998217e-05 × 6371000     		dl = 105.631179998864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21773988--1.21775646) × R
    1.65799999998217e-05 × 6371000     		dr = 105.631179998864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66398566-1.66403360) × cos(-1.21773988) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345767344050933 × 6371000     		do = 105.606246924521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66398566-1.66403360) × cos(-1.21775646) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345751786653202 × 6371000     		du = 105.601495294807m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21773988)-sin(-1.21775646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345767344050933-0.345751786653202)×R²
    abs(1.66403360-1.66398566)×1.55573977306256e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55573977306256e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55573977306256e-05×40589641000000     		ar = 11155.0615180184m²