Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100245 / 98437
↖ ↑ ↗
← S 66.658419°
E 95.331116°		 ← 121.01 m → S 66.658419°
E 95.333863°		 →
↑
120.99 m
↓
↑
120.99 m
↓
S 66.659507°
E 95.331116°		 ← 121.01 m →
14 641 m²		 S 66.659507°
E 95.333863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98437 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764812469482422 y=0.751018524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764812469482422 × 217)
    floor (0.764812469482422 × 131072)
    floor (100245.5)     		tx = 100245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751018524169922 × 217)
    floor (0.751018524169922 × 131072)
    floor (98437.5)     		ty = 98437
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100245 / 98437 ti = "17/100245/98437"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100245/98437.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100245 ÷ 217
    100245 ÷ 131072     		x = 0.764808654785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98437 ÷ 217
    98437 ÷ 131072     		y = 0.751014709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764808654785156 × 2 - 1) × π
    0.529617309570312 × 3.1415926535     		Λ = 1.66384185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751014709472656 × 2 - 1) × π
    -0.502029418945312 × 3.1415926535     		Φ = -1.57717193439947
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66384185} λ = 1.66384185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.57717193439947))-π/2
    2×atan(0.206558433761503)-π/2
    2×0.203693719303311-π/2
    0.407387438606621-1.57079632675     		φ = -1.16340889
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66384185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.331116°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16340889 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.658419°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100245 KachelY 98437 1.66384185 -1.16340889 95.331116 -66.658419
    Oben rechts KachelX + 1 100246 KachelY 98437 1.66388979 -1.16340889 95.333863 -66.658419
    Unten links KachelX 100245 KachelY + 1 98438 1.66384185 -1.16342788 95.331116 -66.659507
    Unten rechts KachelX + 1 100246 KachelY + 1 98438 1.66388979 -1.16342788 95.333863 -66.659507
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16340889--1.16342788) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dl = 120.985290000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16340889--1.16342788) × R
    1.8990000000052e-05 × 6371000     		dr = 120.985290000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66384185-1.66388979) × cos(-1.16340889) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396211934243263 × 6371000     		do = 121.013323213001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66384185-1.66388979) × cos(-1.16342788) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.396194498330821 × 6371000     		du = 121.007997836541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16340889)-sin(-1.16342788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.396211934243263-0.396194498330821)×R²
    abs(1.66388979-1.66384185)×1.74359124412993e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.74359124412993e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.74359124412993e-05×40589641000000     		ar = 14640.5098571732m²