Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100244 / 97748
↖ ↑ ↗
← S 65.897167°
E 95.328369°		 ← 124.73 m → S 65.897167°
E 95.331116°		 →
↑
124.68 m
↓
↑
124.68 m
↓
S 65.898289°
E 95.328369°		 ← 124.72 m →
15 551 m²		 S 65.898289°
E 95.331116°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97748 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764804840087891 y=0.745761871337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764804840087891 × 217)
    floor (0.764804840087891 × 131072)
    floor (100244.5)     		tx = 100244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745761871337891 × 217)
    floor (0.745761871337891 × 131072)
    floor (97748.5)     		ty = 97748
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100244 / 97748 ti = "17/100244/97748"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100244/97748.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100244 ÷ 217
    100244 ÷ 131072     		x = 0.764801025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97748 ÷ 217
    97748 ÷ 131072     		y = 0.745758056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764801025390625 × 2 - 1) × π
    0.52960205078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66379391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745758056640625 × 2 - 1) × π
    -0.49151611328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.54414341056125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66379391} λ = 1.66379391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54414341056125))-π/2
    2×atan(0.213494670199624)-π/2
    2×0.210336895451635-π/2
    0.42067379090327-1.57079632675     		φ = -1.15012254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66379391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.328369°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15012254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.897167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100244 KachelY 97748 1.66379391 -1.15012254 95.328369 -65.897167
    Oben rechts KachelX + 1 100245 KachelY 97748 1.66384185 -1.15012254 95.331116 -65.897167
    Unten links KachelX 100244 KachelY + 1 97749 1.66379391 -1.15014211 95.328369 -65.898289
    Unten rechts KachelX + 1 100245 KachelY + 1 97749 1.66384185 -1.15014211 95.331116 -65.898289
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15012254--1.15014211) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dl = 124.680470000508m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15012254--1.15014211) × R
    1.95700000000798e-05 × 6371000     		dr = 124.680470000508m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66379391-1.66384185) × cos(-1.15012254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.408375587724264 × 6371000     		do = 124.728416078536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66379391-1.66384185) × cos(-1.15014211) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.40835772387629 × 6371000     		du = 124.72295999955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15012254)-sin(-1.15014211))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408375587724264-0.40835772387629)×R²
    abs(1.66384185-1.66379391)×1.78638479734761e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.78638479734761e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.78638479734761e-05×40589641000000     		ar = 15550.8574063303m²