Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100242 / 101500
↖ ↑ ↗
← S 69.775154°
E 95.322876°		 ← 105.59 m → S 69.775154°
E 95.325623°		 →
↑
105.63 m
↓
↑
105.63 m
↓
S 69.776104°
E 95.322876°		 ← 105.58 m →
11 153 m²		 S 69.776104°
E 95.325623°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764789581298828 y=0.774387359619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764789581298828 × 217)
    floor (0.764789581298828 × 131072)
    floor (100242.5)     		tx = 100242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774387359619141 × 217)
    floor (0.774387359619141 × 131072)
    floor (101500.5)     		ty = 101500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100242 / 101500 ti = "17/100242/101500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100242/101500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100242 ÷ 217
    100242 ÷ 131072     		x = 0.764785766601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101500 ÷ 217
    101500 ÷ 131072     		y = 0.774383544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764785766601562 × 2 - 1) × π
    0.529571533203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66369804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774383544921875 × 2 - 1) × π
    -0.54876708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.7240026579357
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66369804} λ = 1.66369804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7240026579357))-π/2
    2×atan(0.178350839895206)-π/2
    2×0.176495075944486-π/2
    0.352990151888972-1.57079632675     		φ = -1.21780617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66369804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.322876°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21780617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.775154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100242 KachelY 101500 1.66369804 -1.21780617 95.322876 -69.775154
    Oben rechts KachelX + 1 100243 KachelY 101500 1.66374598 -1.21780617 95.325623 -69.775154
    Unten links KachelX 100242 KachelY + 1 101501 1.66369804 -1.21782275 95.322876 -69.776104
    Unten rechts KachelX + 1 100243 KachelY + 1 101501 1.66374598 -1.21782275 95.325623 -69.776104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21780617--1.21782275) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dl = 105.631180000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21780617--1.21782275) × R
    1.65800000000438e-05 × 6371000     		dr = 105.631180000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66369804-1.66374598) × cos(-1.21780617) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345705142040047 × 6371000     		do = 105.587248829317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66369804-1.66374598) × cos(-1.21782275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34568958426233 × 6371000     		du = 105.582497083545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21780617)-sin(-1.21782275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345705142040047-0.34568958426233)×R²
    abs(1.66374598-1.66369804)×1.55577777169458e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55577777169458e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55577777169458e-05×40589641000000     		ar = 11153.0547209115m²