Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100241 / 97745
↖ ↑ ↗
← S 65.893802°
E 95.320129°		 ← 124.74 m → S 65.893802°
E 95.322876°		 →
↑
124.74 m
↓
↑
124.74 m
↓
S 65.894924°
E 95.320129°		 ← 124.74 m →
15 561 m²		 S 65.894924°
E 95.322876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97745 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764781951904297 y=0.745738983154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764781951904297 × 217)
    floor (0.764781951904297 × 131072)
    floor (100241.5)     		tx = 100241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745738983154297 × 217)
    floor (0.745738983154297 × 131072)
    floor (97745.5)     		ty = 97745
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100241 / 97745 ti = "17/100241/97745"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100241/97745.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100241 ÷ 217
    100241 ÷ 131072     		x = 0.764778137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97745 ÷ 217
    97745 ÷ 131072     		y = 0.745735168457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764778137207031 × 2 - 1) × π
    0.529556274414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66365010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745735168457031 × 2 - 1) × π
    -0.491470336914062 × 3.1415926535     		Φ = -1.54399959986239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66365010} λ = 1.66365010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54399959986239))-π/2
    2×atan(0.213525375225151)-π/2
    2×0.210366261768673-π/2
    0.420732523537347-1.57079632675     		φ = -1.15006380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66365010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.320129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15006380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.893802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100241 KachelY 97745 1.66365010 -1.15006380 95.320129 -65.893802
    Oben rechts KachelX + 1 100242 KachelY 97745 1.66369804 -1.15006380 95.322876 -65.893802
    Unten links KachelX 100241 KachelY + 1 97746 1.66365010 -1.15008338 95.320129 -65.894924
    Unten rechts KachelX + 1 100242 KachelY + 1 97746 1.66369804 -1.15008338 95.322876 -65.894924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15006380--1.15008338) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dl = 124.744180000121m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15006380--1.15008338) × R
    1.9580000000019e-05 × 6371000     		dr = 124.744180000121m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66365010-1.66369804) × cos(-1.15006380) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408429205713446 × 6371000     		do = 124.744792393138m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66365010-1.66369804) × cos(-1.15008338) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.408411333206958 × 6371000     		du = 124.739333669618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15006380)-sin(-1.15008338))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408429205713446-0.408411333206958)×R²
    abs(1.66369804-1.66365010)×1.78725064880481e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.78725064880481e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.78725064880481e-05×40589641000000     		ar = 15560.8463649093m²