Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100241 / 101501
↖ ↑ ↗
← S 69.776104°
E 95.320129°		 ← 105.58 m → S 69.776104°
E 95.322876°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.777053°
E 95.320129°		 ← 105.58 m →
11 146 m²		 S 69.777053°
E 95.322876°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764781951904297 y=0.774394989013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764781951904297 × 217)
    floor (0.764781951904297 × 131072)
    floor (100241.5)     		tx = 100241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774394989013672 × 217)
    floor (0.774394989013672 × 131072)
    floor (101501.5)     		ty = 101501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100241 / 101501 ti = "17/100241/101501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100241/101501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100241 ÷ 217
    100241 ÷ 131072     		x = 0.764778137207031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101501 ÷ 217
    101501 ÷ 131072     		y = 0.774391174316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764778137207031 × 2 - 1) × π
    0.529556274414062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66365010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774391174316406 × 2 - 1) × π
    -0.548782348632812 × 3.1415926535     		Φ = -1.72405059483532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66365010} λ = 1.66365010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72405059483532))-π/2
    2×atan(0.178342290513814)-π/2
    2×0.176486790114605-π/2
    0.352973580229211-1.57079632675     		φ = -1.21782275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66365010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.320129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21782275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.776104°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100241 KachelY 101501 1.66365010 -1.21782275 95.320129 -69.776104
    Oben rechts KachelX + 1 100242 KachelY 101501 1.66369804 -1.21782275 95.322876 -69.776104
    Unten links KachelX 100241 KachelY + 1 101502 1.66365010 -1.21783932 95.320129 -69.777053
    Unten rechts KachelX + 1 100242 KachelY + 1 101502 1.66369804 -1.21783932 95.322876 -69.777053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21782275--1.21783932) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dl = 105.567469999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21782275--1.21783932) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dr = 105.567469999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66365010-1.66369804) × cos(-1.21782275) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.34568958426233 × 6371000     		do = 105.582497084034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66365010-1.66369804) × cos(-1.21783932) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.345674035773131 × 6371000     		du = 105.577748175215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21782275)-sin(-1.21783932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34568958426233-0.345674035773131)×R²
    abs(1.66369804-1.66365010)×1.5548489198991e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.5548489198991e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.5548489198991e-05×40589641000000     		ar = 11145.826428342m²