Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100240 / 102025
↖ ↑ ↗
← S 70.267800°
E 95.317383°		 ← 103.12 m → S 70.267800°
E 95.320129°		 →
↑
103.08 m
↓
↑
103.08 m
↓
S 70.268727°
E 95.317383°		 ← 103.11 m →
10 630 m²		 S 70.268727°
E 95.320129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102025 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764774322509766 y=0.778392791748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764774322509766 × 217)
    floor (0.764774322509766 × 131072)
    floor (100240.5)     		tx = 100240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778392791748047 × 217)
    floor (0.778392791748047 × 131072)
    floor (102025.5)     		ty = 102025
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100240 / 102025 ti = "17/100240/102025"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100240/102025.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100240 ÷ 217
    100240 ÷ 131072     		x = 0.7647705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102025 ÷ 217
    102025 ÷ 131072     		y = 0.778388977050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7647705078125 × 2 - 1) × π
    0.529541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66360216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778388977050781 × 2 - 1) × π
    -0.556777954101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.74916953023623
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66360216} λ = 1.66360216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74916953023623))-π/2
    2×atan(0.173918317397013)-π/2
    2×0.172195933606491-π/2
    0.344391867212983-1.57079632675     		φ = -1.22640446
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66360216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.317383°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22640446 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.267800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100240 KachelY 102025 1.66360216 -1.22640446 95.317383 -70.267800
    Oben rechts KachelX + 1 100241 KachelY 102025 1.66365010 -1.22640446 95.320129 -70.267800
    Unten links KachelX 100240 KachelY + 1 102026 1.66360216 -1.22642064 95.317383 -70.268727
    Unten rechts KachelX + 1 100241 KachelY + 1 102026 1.66365010 -1.22642064 95.320129 -70.268727
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22640446--1.22642064) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dl = 103.082780000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22640446--1.22642064) × R
    1.61800000000323e-05 × 6371000     		dr = 103.082780000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66360216-1.66365010) × cos(-1.22640446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337624315514869 × 6371000     		do = 103.119156408055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66360216-1.66365010) × cos(-1.22642064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337609085544951 × 6371000     		du = 103.114504783222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22640446)-sin(-1.22642064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337624315514869-0.337609085544951)×R²
    abs(1.66365010-1.66360216)×1.52299699188729e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52299699188729e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52299699188729e-05×40589641000000     		ar = 10629.5695629698m²