Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100239 / 99732
↖ ↑ ↗
← S 68.028133°
E 95.314636°		 ← 114.25 m → S 68.028133°
E 95.317383°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.029161°
E 95.314636°		 ← 114.25 m →
13 058 m²		 S 68.029161°
E 95.317383°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764766693115234 y=0.760898590087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764766693115234 × 217)
    floor (0.764766693115234 × 131072)
    floor (100239.5)     		tx = 100239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760898590087891 × 217)
    floor (0.760898590087891 × 131072)
    floor (99732.5)     		ty = 99732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100239 / 99732 ti = "17/100239/99732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100239/99732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100239 ÷ 217
    100239 ÷ 131072     		x = 0.764762878417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99732 ÷ 217
    99732 ÷ 131072     		y = 0.760894775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764762878417969 × 2 - 1) × π
    0.529525756835938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66355423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760894775390625 × 2 - 1) × π
    -0.52178955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63925021940744
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66355423} λ = 1.66355423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63925021940744))-π/2
    2×atan(0.194125539300546)-π/2
    2×0.191740711850543-π/2
    0.383481423701086-1.57079632675     		φ = -1.18731490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66355423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.314636°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18731490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.028133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100239 KachelY 99732 1.66355423 -1.18731490 95.314636 -68.028133
    Oben rechts KachelX + 1 100240 KachelY 99732 1.66360216 -1.18731490 95.317383 -68.028133
    Unten links KachelX 100239 KachelY + 1 99733 1.66355423 -1.18733284 95.314636 -68.029161
    Unten rechts KachelX + 1 100240 KachelY + 1 99733 1.66360216 -1.18733284 95.317383 -68.029161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18731490--1.18733284) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18731490--1.18733284) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66355423-1.66360216) × cos(-1.18731490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374151292990314 × 6371000     		do = 114.251598354717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66355423-1.66360216) × cos(-1.18733284) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.374134655953965 × 6371000     		du = 114.246518035524m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18731490)-sin(-1.18733284))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374151292990314-0.374134655953965)×R²
    abs(1.66360216-1.66355423)×1.66370363491319e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.66370363491319e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.66370363491319e-05×40589641000000     		ar = 13058.1806509894m²