Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100237 / 97365
↖ ↑ ↗
← S 65.463964°
E 95.309143°		 ← 126.83 m → S 65.463964°
E 95.311890°		 →
↑
126.85 m
↓
↑
126.85 m
↓
S 65.465105°
E 95.309143°		 ← 126.83 m →
16 088 m²		 S 65.465105°
E 95.311890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764751434326172 y=0.742839813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764751434326172 × 217)
    floor (0.764751434326172 × 131072)
    floor (100237.5)     		tx = 100237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742839813232422 × 217)
    floor (0.742839813232422 × 131072)
    floor (97365.5)     		ty = 97365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100237 / 97365 ti = "17/100237/97365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100237/97365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100237 ÷ 217
    100237 ÷ 131072     		x = 0.764747619628906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97365 ÷ 217
    97365 ÷ 131072     		y = 0.742835998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764747619628906 × 2 - 1) × π
    0.529495239257812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66345835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742835998535156 × 2 - 1) × π
    -0.485671997070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.52578357800677
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66345835} λ = 1.66345835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52578357800677))-π/2
    2×atan(0.217450600582882)-π/2
    2×0.214117303279016-π/2
    0.428234606558032-1.57079632675     		φ = -1.14256172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66345835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.309143°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14256172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.463964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100237 KachelY 97365 1.66345835 -1.14256172 95.309143 -65.463964
    Oben rechts KachelX + 1 100238 KachelY 97365 1.66350629 -1.14256172 95.311890 -65.463964
    Unten links KachelX 100237 KachelY + 1 97366 1.66345835 -1.14258163 95.309143 -65.465105
    Unten rechts KachelX + 1 100238 KachelY + 1 97366 1.66350629 -1.14258163 95.311890 -65.465105
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14256172--1.14258163) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dl = 126.846610000076m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14256172--1.14258163) × R
    1.99100000000119e-05 × 6371000     		dr = 126.846610000076m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66345835-1.66350629) × cos(-1.14256172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415265471692244 × 6371000     		do = 126.83276398797m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66345835-1.66350629) × cos(-1.14258163) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.415247359477488 × 6371000     		du = 126.827232051375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14256172)-sin(-1.14258163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415265471692244-0.415247359477488)×R²
    abs(1.66350629-1.66345835)×1.81122147560608e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81122147560608e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81122147560608e-05×40589641000000     		ar = 16087.9552955947m²