Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100234 / 101506
↖ ↑ ↗
← S 69.780850°
E 95.300903°		 ← 105.56 m → S 69.780850°
E 95.303650°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
S 69.781800°
E 95.300903°		 ← 105.55 m →
11 143 m²		 S 69.781800°
E 95.303650°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764728546142578 y=0.774433135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764728546142578 × 217)
    floor (0.764728546142578 × 131072)
    floor (100234.5)     		tx = 100234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774433135986328 × 217)
    floor (0.774433135986328 × 131072)
    floor (101506.5)     		ty = 101506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100234 / 101506 ti = "17/100234/101506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100234/101506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100234 ÷ 217
    100234 ÷ 131072     		x = 0.764724731445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101506 ÷ 217
    101506 ÷ 131072     		y = 0.774429321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764724731445312 × 2 - 1) × π
    0.529449462890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66331454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774429321289062 × 2 - 1) × π
    -0.548858642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.72429027933342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66331454} λ = 1.66331454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72429027933342))-π/2
    2×atan(0.178299549753775)-π/2
    2×0.176445366555429-π/2
    0.352890733110857-1.57079632675     		φ = -1.21790559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66331454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.300903°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21790559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.780850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100234 KachelY 101506 1.66331454 -1.21790559 95.300903 -69.780850
    Oben rechts KachelX + 1 100235 KachelY 101506 1.66336248 -1.21790559 95.303650 -69.780850
    Unten links KachelX 100234 KachelY + 1 101507 1.66331454 -1.21792216 95.300903 -69.781800
    Unten rechts KachelX + 1 100235 KachelY + 1 101507 1.66336248 -1.21792216 95.303650 -69.781800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21790559--1.21792216) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dl = 105.567470000666m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21790559--1.21792216) × R
    1.65700000001046e-05 × 6371000     		dr = 105.567470000666m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66331454-1.66336248) × cos(-1.21790559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345611850251053 × 6371000     		do = 105.558755115628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66331454-1.66336248) × cos(-1.21792216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345596301287404 × 6371000     		du = 105.554006061899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21790559)-sin(-1.21792216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345611850251053-0.345596301287404)×R²
    abs(1.66336248-1.66331454)×1.55489636490813e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55489636490813e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55489636490813e-05×40589641000000     		ar = 11143.3200414853m²