Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100232 / 97412
↖ ↑ ↗
← S 65.517516°
E 95.295410°		 ← 126.57 m → S 65.517516°
E 95.298157°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
S 65.518654°
E 95.295410°		 ← 126.57 m →
16 015 m²		 S 65.518654°
E 95.298157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97412 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764713287353516 y=0.743198394775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764713287353516 × 217)
    floor (0.764713287353516 × 131072)
    floor (100232.5)     		tx = 100232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743198394775391 × 217)
    floor (0.743198394775391 × 131072)
    floor (97412.5)     		ty = 97412
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100232 / 97412 ti = "17/100232/97412"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100232/97412.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100232 ÷ 217
    100232 ÷ 131072     		x = 0.76470947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97412 ÷ 217
    97412 ÷ 131072     		y = 0.743194580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76470947265625 × 2 - 1) × π
    0.5294189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66321867
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743194580078125 × 2 - 1) × π
    -0.48638916015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52803661228891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66321867} λ = 1.66321867}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52803661228891))-π/2
    2×atan(0.21696122841824)-π/2
    2×0.213649978749925-π/2
    0.42729995749985-1.57079632675     		φ = -1.14349637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66321867} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.295410°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14349637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.517516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100232 KachelY 97412 1.66321867 -1.14349637 95.295410 -65.517516
    Oben rechts KachelX + 1 100233 KachelY 97412 1.66326661 -1.14349637 95.298157 -65.517516
    Unten links KachelX 100232 KachelY + 1 97413 1.66321867 -1.14351623 95.295410 -65.518654
    Unten rechts KachelX + 1 100233 KachelY + 1 97413 1.66326661 -1.14351623 95.298157 -65.518654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14349637--1.14351623) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dl = 126.528059999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14349637--1.14351623) × R
    1.98599999998716e-05 × 6371000     		dr = 126.528059999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66321867-1.66326661) × cos(-1.14349637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414415039073352 × 6371000     		do = 126.573019976024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66321867-1.66326661) × cos(-1.14351623) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414396964643863 × 6371000     		du = 126.567499580023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14349637)-sin(-1.14351623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414415039073352-0.414396964643863)×R²
    abs(1.66326661-1.66321867)×1.80744294888124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80744294888124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80744294888124e-05×40589641000000     		ar = 16014.6894239134m²