Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100231 / 102005
↖ ↑ ↗
← S 70.249245°
E 95.292663°		 ← 103.21 m → S 70.249245°
E 95.295410°		 →
↑
103.21 m
↓
↑
103.21 m
↓
S 70.250173°
E 95.292663°		 ← 103.21 m →
10 652 m²		 S 70.250173°
E 95.295410°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100231 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764705657958984 y=0.778240203857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764705657958984 × 217)
    floor (0.764705657958984 × 131072)
    floor (100231.5)     		tx = 100231
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778240203857422 × 217)
    floor (0.778240203857422 × 131072)
    floor (102005.5)     		ty = 102005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100231 / 102005 ti = "17/100231/102005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100231/102005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100231 ÷ 217
    100231 ÷ 131072     		x = 0.764701843261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102005 ÷ 217
    102005 ÷ 131072     		y = 0.778236389160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764701843261719 × 2 - 1) × π
    0.529403686523438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66317073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778236389160156 × 2 - 1) × π
    -0.556472778320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.74821079224383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66317073} λ = 1.66317073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74821079224383))-π/2
    2×atan(0.174085139452019)-π/2
    2×0.172357853283627-π/2
    0.344715706567254-1.57079632675     		φ = -1.22608062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66317073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.292663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22608062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.249245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100231 KachelY 102005 1.66317073 -1.22608062 95.292663 -70.249245
    Oben rechts KachelX + 1 100232 KachelY 102005 1.66321867 -1.22608062 95.295410 -70.249245
    Unten links KachelX 100231 KachelY + 1 102006 1.66317073 -1.22609682 95.292663 -70.250173
    Unten rechts KachelX + 1 100232 KachelY + 1 102006 1.66321867 -1.22609682 95.295410 -70.250173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22608062--1.22609682) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dl = 103.210199999431m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22608062--1.22609682) × R
    1.61999999999107e-05 × 6371000     		dr = 103.210199999431m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66317073-1.66321867) × cos(-1.22608062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337929122227758 × 6371000     		do = 103.212252223896m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66317073-1.66321867) × cos(-1.22609682) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337913875204118 × 6371000     		du = 103.207595390418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22608062)-sin(-1.22609682))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337929122227758-0.337913875204118)×R²
    abs(1.66321867-1.66317073)×1.52470236400859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52470236400859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52470236400859e-05×40589641000000     		ar = 10652.3168784235m²