Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100230 / 97414
↖ ↑ ↗
← S 65.519792°
E 95.289917°		 ← 126.54 m → S 65.519792°
E 95.292663°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
S 65.520930°
E 95.289917°		 ← 126.53 m →
16 010 m²		 S 65.520930°
E 95.292663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764698028564453 y=0.743213653564453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764698028564453 × 217)
    floor (0.764698028564453 × 131072)
    floor (100230.5)     		tx = 100230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743213653564453 × 217)
    floor (0.743213653564453 × 131072)
    floor (97414.5)     		ty = 97414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100230 / 97414 ti = "17/100230/97414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100230/97414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100230 ÷ 217
    100230 ÷ 131072     		x = 0.764694213867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97414 ÷ 217
    97414 ÷ 131072     		y = 0.743209838867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764694213867188 × 2 - 1) × π
    0.529388427734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66312280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743209838867188 × 2 - 1) × π
    -0.486419677734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52813248608815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66312280} λ = 1.66312280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52813248608815))-π/2
    2×atan(0.216940428518082)-π/2
    2×0.213630113844425-π/2
    0.427260227688851-1.57079632675     		φ = -1.14353610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66312280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.289917°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14353610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.519792°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100230 KachelY 97414 1.66312280 -1.14353610 95.289917 -65.519792
    Oben rechts KachelX + 1 100231 KachelY 97414 1.66317073 -1.14353610 95.292663 -65.519792
    Unten links KachelX 100230 KachelY + 1 97415 1.66312280 -1.14355596 95.289917 -65.520930
    Unten rechts KachelX + 1 100231 KachelY + 1 97415 1.66317073 -1.14355596 95.292663 -65.520930
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14353610--1.14355596) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14353610--1.14355596) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66312280-1.66317073) × cos(-1.14353610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414378880949883 × 6371000     		do = 126.535576276062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66312280-1.66317073) × cos(-1.14355596) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414360806193426 × 6371000     		du = 126.530056931739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14353610)-sin(-1.14355596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414378880949883-0.414360806193426)×R²
    abs(1.66317073-1.66312280)×1.80747564567652e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80747564567652e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80747564567652e-05×40589641000000     		ar = 16009.9518117357m²