Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10023 / 2361
↖ ↑ ↗
← N 77.800128°
E 40.231934°		 ← 516.31 m → N 77.800128°
E 40.253906°		 →
↑
516.43 m
↓
↑
516.43 m
↓
N 77.795484°
E 40.231934°		 ← 516.50 m →
266 688 m²		 N 77.795484°
E 40.253906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611785888671875 y=0.144134521484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611785888671875 × 214)
    floor (0.611785888671875 × 16384)
    floor (10023.5)     		tx = 10023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144134521484375 × 214)
    floor (0.144134521484375 × 16384)
    floor (2361.5)     		ty = 2361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10023 / 2361 ti = "14/10023/2361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10023/2361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10023 ÷ 214
    10023 ÷ 16384     		x = 0.61175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2361 ÷ 214
    2361 ÷ 16384     		y = 0.14410400390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61175537109375 × 2 - 1) × π
    0.2235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.70217971
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14410400390625 × 2 - 1) × π
    0.7117919921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.23616049347638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70217971} λ = 0.70217971}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23616049347638))-π/2
    2×atan(9.35733467951285)-π/2
    2×1.46433236198507-π/2
    2.92866472397014-1.57079632675     		φ = 1.35786840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70217971} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.231934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35786840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.800128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10023 KachelY 2361 0.70217971 1.35786840 40.231934 77.800128
    Oben rechts KachelX + 1 10024 KachelY 2361 0.70256320 1.35786840 40.253906 77.800128
    Unten links KachelX 10023 KachelY + 1 2362 0.70217971 1.35778734 40.231934 77.795484
    Unten rechts KachelX + 1 10024 KachelY + 1 2362 0.70256320 1.35778734 40.253906 77.795484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35786840-1.35778734) × R
    8.10600000000772e-05 × 6371000     		dl = 516.433260000492m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35786840-1.35778734) × R
    8.10600000000772e-05 × 6371000     		dr = 516.433260000492m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70217971-0.70256320) × cos(1.35786840) × R
    0.000383490000000042 × 0.211322605138846 × 6371000     		do = 516.306514336614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70217971-0.70256320) × cos(1.35778734) × R
    0.000383490000000042 × 0.211401833815283 × 6371000     		du = 516.500087010678m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35786840)-sin(1.35778734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211322605138846-0.211401833815283)×R²
    abs(0.70256320-0.70217971)×7.92286764372818e-05×R²
    0.000383490000000042×7.92286764372818e-05×6371000²
    0.000383490000000042×7.92286764372818e-05×40589641000000     		ar = 266687.840187443m²