Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100226 / 99200
↖ ↑ ↗
← S 67.474922°
E 95.278931°		 ← 116.98 m → S 67.474922°
E 95.281677°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.475974°
E 95.278931°		 ← 116.98 m →
13 683 m²		 S 67.475974°
E 95.281677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100226 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764667510986328 y=0.756839752197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764667510986328 × 217)
    floor (0.764667510986328 × 131072)
    floor (100226.5)     		tx = 100226
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756839752197266 × 217)
    floor (0.756839752197266 × 131072)
    floor (99200.5)     		ty = 99200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100226 / 99200 ti = "17/100226/99200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100226/99200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100226 ÷ 217
    100226 ÷ 131072     		x = 0.764663696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99200 ÷ 217
    99200 ÷ 131072     		y = 0.7568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764663696289062 × 2 - 1) × π
    0.529327392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66293105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7568359375 × 2 - 1) × π
    -0.513671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61374778880957
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66293105} λ = 1.66293105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61374778880957))-π/2
    2×atan(0.199139879562679)-π/2
    2×0.196568384335204-π/2
    0.393136768670409-1.57079632675     		φ = -1.17765956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66293105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.278931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17765956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.474922°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100226 KachelY 99200 1.66293105 -1.17765956 95.278931 -67.474922
    Oben rechts KachelX + 1 100227 KachelY 99200 1.66297898 -1.17765956 95.281677 -67.474922
    Unten links KachelX 100226 KachelY + 1 99201 1.66293105 -1.17767792 95.278931 -67.475974
    Unten rechts KachelX + 1 100227 KachelY + 1 99201 1.66297898 -1.17767792 95.281677 -67.475974
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17765956--1.17767792) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dl = 116.971560000676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17765956--1.17767792) × R
    1.83600000001061e-05 × 6371000     		dr = 116.971560000676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66293105-1.66297898) × cos(-1.17765956) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383087763999222 × 6371000     		do = 116.980457283035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66293105-1.66297898) × cos(-1.17767792) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.383070804583269 × 6371000     		du = 116.975278521352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17765956)-sin(-1.17767792))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383087763999222-0.383070804583269)×R²
    abs(1.66297898-1.66293105)×1.6959415953699e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.6959415953699e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.6959415953699e-05×40589641000000     		ar = 13683.0836945599m²