Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100225 / 102058
↖ ↑ ↗
← S 70.298378°
E 95.276184°		 ← 102.97 m → S 70.298378°
E 95.278931°		 →
↑
102.96 m
↓
↑
102.96 m
↓
S 70.299304°
E 95.276184°		 ← 102.96 m →
10 601 m²		 S 70.299304°
E 95.278931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102058 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764659881591797 y=0.778644561767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764659881591797 × 217)
    floor (0.764659881591797 × 131072)
    floor (100225.5)     		tx = 100225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778644561767578 × 217)
    floor (0.778644561767578 × 131072)
    floor (102058.5)     		ty = 102058
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100225 / 102058 ti = "17/100225/102058"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100225/102058.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100225 ÷ 217
    100225 ÷ 131072     		x = 0.764656066894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102058 ÷ 217
    102058 ÷ 131072     		y = 0.778640747070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764656066894531 × 2 - 1) × π
    0.529312133789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66288311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778640747070312 × 2 - 1) × π
    -0.557281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75075144792369
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66288311} λ = 1.66288311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75075144792369))-π/2
    2×atan(0.173643410431973)-π/2
    2×0.171929085402306-π/2
    0.343858170804613-1.57079632675     		φ = -1.22693816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66288311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.276184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22693816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.298378°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100225 KachelY 102058 1.66288311 -1.22693816 95.276184 -70.298378
    Oben rechts KachelX + 1 100226 KachelY 102058 1.66293105 -1.22693816 95.278931 -70.298378
    Unten links KachelX 100225 KachelY + 1 102059 1.66288311 -1.22695432 95.276184 -70.299304
    Unten rechts KachelX + 1 100226 KachelY + 1 102059 1.66293105 -1.22695432 95.278931 -70.299304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22693816--1.22695432) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dl = 102.955359999565m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22693816--1.22695432) × R
    1.61599999999318e-05 × 6371000     		dr = 102.955359999565m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66288311-1.66293105) × cos(-1.22693816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337121905813468 × 6371000     		do = 102.965707553221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66288311-1.66293105) × cos(-1.22695432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.337106691759637 × 6371000     		du = 102.961060789572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22693816)-sin(-1.22695432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337121905813468-0.337106691759637)×R²
    abs(1.66293105-1.66288311)×1.52140538305923e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52140538305923e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52140538305923e-05×40589641000000     		ar = 10600.6322843116m²