Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100225 / 101505
↖ ↑ ↗
← S 69.779901°
E 95.276184°		 ← 105.56 m → S 69.779901°
E 95.278931°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
S 69.780850°
E 95.276184°		 ← 105.56 m →
11 137 m²		 S 69.780850°
E 95.278931°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100225 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764659881591797 y=0.774425506591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764659881591797 × 217)
    floor (0.764659881591797 × 131072)
    floor (100225.5)     		tx = 100225
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.774425506591797 × 217)
    floor (0.774425506591797 × 131072)
    floor (101505.5)     		ty = 101505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100225 / 101505 ti = "17/100225/101505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100225/101505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100225 ÷ 217
    100225 ÷ 131072     		x = 0.764656066894531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101505 ÷ 217
    101505 ÷ 131072     		y = 0.774421691894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764656066894531 × 2 - 1) × π
    0.529312133789062 × 3.1415926535     		Λ = 1.66288311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.774421691894531 × 2 - 1) × π
    -0.548843383789062 × 3.1415926535     		Φ = -1.7242423424338
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66288311} λ = 1.66288311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7242423424338))-π/2
    2×atan(0.178308097086259)-π/2
    2×0.176453650521949-π/2
    0.352907301043898-1.57079632675     		φ = -1.21788903
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66288311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.276184°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21788903 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.779901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100225 KachelY 101505 1.66288311 -1.21788903 95.276184 -69.779901
    Oben rechts KachelX + 1 100226 KachelY 101505 1.66293105 -1.21788903 95.278931 -69.779901
    Unten links KachelX 100225 KachelY + 1 101506 1.66288311 -1.21790559 95.276184 -69.780850
    Unten rechts KachelX + 1 100226 KachelY + 1 101506 1.66293105 -1.21790559 95.278931 -69.780850
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21788903--1.21790559) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21788903--1.21790559) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66288311-1.66293105) × cos(-1.21788903) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345627389736091 × 6371000     		do = 105.563501274345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66288311-1.66293105) × cos(-1.21790559) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.345611850251053 × 6371000     		du = 105.558755115628m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21788903)-sin(-1.21790559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345627389736091-0.345611850251053)×R²
    abs(1.66293105-1.66288311)×1.553948503763e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.553948503763e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.553948503763e-05×40589641000000     		ar = 11137.0959346481m²