Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100224 / 99196
↖ ↑ ↗
← S 67.470714°
E 95.273437°		 ← 117.03 m → S 67.470714°
E 95.276184°		 →
↑
116.97 m
↓
↑
116.97 m
↓
S 67.471765°
E 95.273437°		 ← 117.02 m →
13 688 m²		 S 67.471765°
E 95.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764652252197266 y=0.756809234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764652252197266 × 217)
    floor (0.764652252197266 × 131072)
    floor (100224.5)     		tx = 100224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.756809234619141 × 217)
    floor (0.756809234619141 × 131072)
    floor (99196.5)     		ty = 99196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100224 / 99196 ti = "17/100224/99196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100224/99196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100224 ÷ 217
    100224 ÷ 131072     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99196 ÷ 217
    99196 ÷ 131072     		y = 0.756805419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.756805419921875 × 2 - 1) × π
    -0.51361083984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61355604121109
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61355604121109))-π/2
    2×atan(0.199178067817483)-π/2
    2×0.196605115667537-π/2
    0.393210231335074-1.57079632675     		φ = -1.17758610
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17758610 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.470714°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100224 KachelY 99196 1.66283517 -1.17758610 95.273437 -67.470714
    Oben rechts KachelX + 1 100225 KachelY 99196 1.66288311 -1.17758610 95.276184 -67.470714
    Unten links KachelX 100224 KachelY + 1 99197 1.66283517 -1.17760446 95.273437 -67.471765
    Unten rechts KachelX + 1 100225 KachelY + 1 99197 1.66288311 -1.17760446 95.276184 -67.471765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17758610--1.17760446) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dl = 116.971559999261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17758610--1.17760446) × R
    1.8359999999884e-05 × 6371000     		dr = 116.971559999261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66288311) × cos(-1.17758610) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383155618845307 × 6371000     		do = 117.025588421451m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66288311) × cos(-1.17760446) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.383138659946068 × 6371000     		du = 117.020408737101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17758610)-sin(-1.17760446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.383155618845307-0.383138659946068)×R²
    abs(1.66288311-1.66283517)×1.69588992389169e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.69588992389169e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.69588992389169e-05×40589641000000     		ar = 13688.362700169m²