Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100224 / 97441
↖ ↑ ↗
← S 65.550503°
E 95.273437°		 ← 126.41 m → S 65.550503°
E 95.276184°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.551640°
E 95.273437°		 ← 126.41 m →
15 978 m²		 S 65.551640°
E 95.276184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100224 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764652252197266 y=0.743419647216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764652252197266 × 217)
    floor (0.764652252197266 × 131072)
    floor (100224.5)     		tx = 100224
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743419647216797 × 217)
    floor (0.743419647216797 × 131072)
    floor (97441.5)     		ty = 97441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100224 / 97441 ti = "17/100224/97441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100224/97441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100224 ÷ 217
    100224 ÷ 131072     		x = 0.7646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97441 ÷ 217
    97441 ÷ 131072     		y = 0.743415832519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7646484375 × 2 - 1) × π
    0.529296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66283517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743415832519531 × 2 - 1) × π
    -0.486831665039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.52942678237789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66283517} λ = 1.66283517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52942678237789))-π/2
    2×atan(0.216659824957602)-π/2
    2×0.213362107212167-π/2
    0.426724214424334-1.57079632675     		φ = -1.14407211
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66283517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14407211 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.550503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100224 KachelY 97441 1.66283517 -1.14407211 95.273437 -65.550503
    Oben rechts KachelX + 1 100225 KachelY 97441 1.66288311 -1.14407211 95.276184 -65.550503
    Unten links KachelX 100224 KachelY + 1 97442 1.66283517 -1.14409195 95.273437 -65.551640
    Unten rechts KachelX + 1 100225 KachelY + 1 97442 1.66288311 -1.14409195 95.276184 -65.551640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14407211--1.14409195) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14407211--1.14409195) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66283517-1.66288311) × cos(-1.14407211) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.41389099635033 × 6371000     		do = 126.412963840139m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66283517-1.66288311) × cos(-1.14409195) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.41387293539213 × 6371000     		du = 126.407447558616m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14407211)-sin(-1.14409195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41389099635033-0.41387293539213)×R²
    abs(1.66288311-1.66283517)×1.80609581993951e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80609581993951e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80609581993951e-05×40589641000000     		ar = 15978.3309034959m²