Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100223 / 99723
↖ ↑ ↗
← S 68.018882°
E 95.270691°		 ← 114.30 m → S 68.018882°
E 95.273437°		 →
↑
114.30 m
↓
↑
114.30 m
↓
S 68.019910°
E 95.270691°		 ← 114.29 m →
13 063 m²		 S 68.019910°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764644622802734 y=0.760829925537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764644622802734 × 217)
    floor (0.764644622802734 × 131072)
    floor (100223.5)     		tx = 100223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760829925537109 × 217)
    floor (0.760829925537109 × 131072)
    floor (99723.5)     		ty = 99723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100223 / 99723 ti = "17/100223/99723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100223/99723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100223 ÷ 217
    100223 ÷ 131072     		x = 0.764640808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99723 ÷ 217
    99723 ÷ 131072     		y = 0.760826110839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764640808105469 × 2 - 1) × π
    0.529281616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66278724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760826110839844 × 2 - 1) × π
    -0.521652221679688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63881878731086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66278724} λ = 1.66278724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63881878731086))-π/2
    2×atan(0.194209309358213)-π/2
    2×0.191821438436083-π/2
    0.383642876872165-1.57079632675     		φ = -1.18715345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66278724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.270691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18715345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.018882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100223 KachelY 99723 1.66278724 -1.18715345 95.270691 -68.018882
    Oben rechts KachelX + 1 100224 KachelY 99723 1.66283517 -1.18715345 95.273437 -68.018882
    Unten links KachelX 100223 KachelY + 1 99724 1.66278724 -1.18717139 95.270691 -68.019910
    Unten rechts KachelX + 1 100224 KachelY + 1 99724 1.66283517 -1.18717139 95.273437 -68.019910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18715345--1.18717139) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dl = 114.295739999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18715345--1.18717139) × R
    1.79399999999941e-05 × 6371000     		dr = 114.295739999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66278724-1.66283517) × cos(-1.18715345) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.374301011624922 × 6371000     		do = 114.29731674038m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66278724-1.66283517) × cos(-1.18717139) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.374284375672462 × 6371000     		du = 114.292236752166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18715345)-sin(-1.18717139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.374301011624922-0.374284375672462)×R²
    abs(1.66283517-1.66278724)×1.66359524597093e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.66359524597093e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.66359524597093e-05×40589641000000     		ar = 13063.4060868042m²