Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100223 / 97439
↖ ↑ ↗
← S 65.548230°
E 95.270691°		 ← 126.40 m → S 65.548230°
E 95.273437°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.549367°
E 95.270691°		 ← 126.39 m →
15 976 m²		 S 65.549367°
E 95.273437°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100223 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97439 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764644622802734 y=0.743404388427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764644622802734 × 217)
    floor (0.764644622802734 × 131072)
    floor (100223.5)     		tx = 100223
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743404388427734 × 217)
    floor (0.743404388427734 × 131072)
    floor (97439.5)     		ty = 97439
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100223 / 97439 ti = "17/100223/97439"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100223/97439.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100223 ÷ 217
    100223 ÷ 131072     		x = 0.764640808105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97439 ÷ 217
    97439 ÷ 131072     		y = 0.743400573730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764640808105469 × 2 - 1) × π
    0.529281616210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.66278724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743400573730469 × 2 - 1) × π
    -0.486801147460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.52933090857865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66278724} λ = 1.66278724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52933090857865))-π/2
    2×atan(0.216680597953941)-π/2
    2×0.21338194872904-π/2
    0.42676389745808-1.57079632675     		φ = -1.14403243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66278724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.270691°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14403243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.548230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100223 KachelY 97439 1.66278724 -1.14403243 95.270691 -65.548230
    Oben rechts KachelX + 1 100224 KachelY 97439 1.66283517 -1.14403243 95.273437 -65.548230
    Unten links KachelX 100223 KachelY + 1 97440 1.66278724 -1.14405227 95.270691 -65.549367
    Unten rechts KachelX + 1 100224 KachelY + 1 97440 1.66283517 -1.14405227 95.273437 -65.549367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14403243--1.14405227) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14403243--1.14405227) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66278724-1.66283517) × cos(-1.14403243) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413927117777967 × 6371000     		do = 126.397624956221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66278724-1.66283517) × cos(-1.14405227) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.413909057145611 × 6371000     		du = 126.392109924862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14403243)-sin(-1.14405227))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413927117777967-0.413909057145611)×R²
    abs(1.66283517-1.66278724)×1.80606323560983e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.80606323560983e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.80606323560983e-05×40589641000000     		ar = 15976.3921378546m²