Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100222 / 97443
↖ ↑ ↗
← S 65.552777°
E 95.267944°		 ← 126.40 m → S 65.552777°
E 95.270691°		 →
↑
126.40 m
↓
↑
126.40 m
↓
S 65.553914°
E 95.267944°		 ← 126.40 m →
15 977 m²		 S 65.553914°
E 95.270691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100222 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97443 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764636993408203 y=0.743434906005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764636993408203 × 217)
    floor (0.764636993408203 × 131072)
    floor (100222.5)     		tx = 100222
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743434906005859 × 217)
    floor (0.743434906005859 × 131072)
    floor (97443.5)     		ty = 97443
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100222 / 97443 ti = "17/100222/97443"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100222/97443.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100222 ÷ 217
    100222 ÷ 131072     		x = 0.764633178710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97443 ÷ 217
    97443 ÷ 131072     		y = 0.743431091308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764633178710938 × 2 - 1) × π
    0.529266357421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66273930
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743431091308594 × 2 - 1) × π
    -0.486862182617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.52952265617713
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66273930} λ = 1.66273930}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52952265617713))-π/2
    2×atan(0.216639053952754)-π/2
    2×0.213342267426916-π/2
    0.426684534853831-1.57079632675     		φ = -1.14411179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66273930} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.267944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14411179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.552777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100222 KachelY 97443 1.66273930 -1.14411179 95.267944 -65.552777
    Oben rechts KachelX + 1 100223 KachelY 97443 1.66278724 -1.14411179 95.270691 -65.552777
    Unten links KachelX 100222 KachelY + 1 97444 1.66273930 -1.14413163 95.267944 -65.553914
    Unten rechts KachelX + 1 100223 KachelY + 1 97444 1.66278724 -1.14413163 95.270691 -65.553914
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14411179--1.14413163) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dl = 126.400639999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14411179--1.14413163) × R
    1.98399999999932e-05 × 6371000     		dr = 126.400639999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66273930-1.66278724) × cos(-1.14411179) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.41385487427102 × 6371000     		do = 126.401931227336m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66273930-1.66278724) × cos(-1.14413163) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.413836812987006 × 6371000     		du = 126.3964148463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14411179)-sin(-1.14413163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.41385487427102-0.413836812987006)×R²
    abs(1.66278724-1.66273930)×1.80612840142147e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.80612840142147e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.80612840142147e-05×40589641000000     		ar = 15976.9363678932m²