Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100221 / 97410
↖ ↑ ↗
← S 65.515240°
E 95.265198°		 ← 126.58 m → S 65.515240°
E 95.267944°		 →
↑
126.53 m
↓
↑
126.53 m
↓
S 65.516377°
E 95.265198°		 ← 126.58 m →
16 016 m²		 S 65.516377°
E 95.267944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100221 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764629364013672 y=0.743183135986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764629364013672 × 217)
    floor (0.764629364013672 × 131072)
    floor (100221.5)     		tx = 100221
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743183135986328 × 217)
    floor (0.743183135986328 × 131072)
    floor (97410.5)     		ty = 97410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100221 / 97410 ti = "17/100221/97410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100221/97410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100221 ÷ 217
    100221 ÷ 131072     		x = 0.764625549316406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97410 ÷ 217
    97410 ÷ 131072     		y = 0.743179321289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764625549316406 × 2 - 1) × π
    0.529251098632812 × 3.1415926535     		Λ = 1.66269136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743179321289062 × 2 - 1) × π
    -0.486358642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52794073848967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66269136} λ = 1.66269136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52794073848967))-π/2
    2×atan(0.216982030312658)-π/2
    2×0.213669845388785-π/2
    0.42733969077757-1.57079632675     		φ = -1.14345664
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66269136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.265198°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14345664 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.515240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100221 KachelY 97410 1.66269136 -1.14345664 95.265198 -65.515240
    Oben rechts KachelX + 1 100222 KachelY 97410 1.66273930 -1.14345664 95.267944 -65.515240
    Unten links KachelX 100221 KachelY + 1 97411 1.66269136 -1.14347650 95.265198 -65.516377
    Unten rechts KachelX + 1 100222 KachelY + 1 97411 1.66273930 -1.14347650 95.267944 -65.516377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14345664--1.14347650) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dl = 126.528060000597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14345664--1.14347650) × R
    1.98600000000937e-05 × 6371000     		dr = 126.528060000597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66269136-1.66273930) × cos(-1.14345664) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414451196542678 × 6371000     		do = 126.58406339785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66269136-1.66273930) × cos(-1.14347650) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414433122440185 × 6371000     		du = 126.578543101721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14345664)-sin(-1.14347650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414451196542678-0.414433122440185)×R²
    abs(1.66273930-1.66269136)×1.80741024927156e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80741024927156e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80741024927156e-05×40589641000000     		ar = 16016.0867329694m²