Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100220 / 99224
↖ ↑ ↗
← S 67.500161°
E 95.262451°		 ← 116.86 m → S 67.500161°
E 95.265198°		 →
↑
116.91 m
↓
↑
116.91 m
↓
S 67.501213°
E 95.262451°		 ← 116.85 m →
13 661 m²		 S 67.501213°
E 95.265198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764621734619141 y=0.757022857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764621734619141 × 217)
    floor (0.764621734619141 × 131072)
    floor (100220.5)     		tx = 100220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757022857666016 × 217)
    floor (0.757022857666016 × 131072)
    floor (99224.5)     		ty = 99224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100220 / 99224 ti = "17/100220/99224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100220/99224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100220 ÷ 217
    100220 ÷ 131072     		x = 0.764617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99224 ÷ 217
    99224 ÷ 131072     		y = 0.75701904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764617919921875 × 2 - 1) × π
    0.52923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66264343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75701904296875 × 2 - 1) × π
    -0.5140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61489827440045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66264343} λ = 1.66264343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61489827440045))-π/2
    2×atan(0.19891090374262)-π/2
    2×0.196348132918297-π/2
    0.392696265836595-1.57079632675     		φ = -1.17810006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66264343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17810006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.500161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100220 KachelY 99224 1.66264343 -1.17810006 95.262451 -67.500161
    Oben rechts KachelX + 1 100221 KachelY 99224 1.66269136 -1.17810006 95.265198 -67.500161
    Unten links KachelX 100220 KachelY + 1 99225 1.66264343 -1.17811841 95.262451 -67.501213
    Unten rechts KachelX + 1 100221 KachelY + 1 99225 1.66269136 -1.17811841 95.265198 -67.501213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17810006--1.17811841) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dl = 116.907849999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17810006--1.17811841) × R
    1.83499999999448e-05 × 6371000     		dr = 116.907849999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66264343-1.66269136) × cos(-1.17810006) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382680831731541 × 6371000     		do = 116.856195619703m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66264343-1.66269136) × cos(-1.17811841) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382663878457925 × 6371000     		du = 116.851018733657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17810006)-sin(-1.17811841))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382680831731541-0.382663878457925)×R²
    abs(1.66269136-1.66264343)×1.69532736160605e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69532736160605e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69532736160605e-05×40589641000000     		ar = 13661.1039801561m²