Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100220 / 97408
↖ ↑ ↗
← S 65.512963°
E 95.262451°		 ← 126.57 m → S 65.512963°
E 95.265198°		 →
↑
126.59 m
↓
↑
126.59 m
↓
S 65.514101°
E 95.262451°		 ← 126.56 m →
16 022 m²		 S 65.514101°
E 95.265198°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100220 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764621734619141 y=0.743167877197266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764621734619141 × 217)
    floor (0.764621734619141 × 131072)
    floor (100220.5)     		tx = 100220
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743167877197266 × 217)
    floor (0.743167877197266 × 131072)
    floor (97408.5)     		ty = 97408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100220 / 97408 ti = "17/100220/97408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100220/97408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100220 ÷ 217
    100220 ÷ 131072     		x = 0.764617919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97408 ÷ 217
    97408 ÷ 131072     		y = 0.7431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764617919921875 × 2 - 1) × π
    0.52923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66264343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7431640625 × 2 - 1) × π
    -0.486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52784486469043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66264343} λ = 1.66264343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52784486469043))-π/2
    2×atan(0.217002834201529)-π/2
    2×0.213689713761125-π/2
    0.42737942752225-1.57079632675     		φ = -1.14341690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66264343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.262451°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14341690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.512963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100220 KachelY 97408 1.66264343 -1.14341690 95.262451 -65.512963
    Oben rechts KachelX + 1 100221 KachelY 97408 1.66269136 -1.14341690 95.265198 -65.512963
    Unten links KachelX 100220 KachelY + 1 97409 1.66264343 -1.14343677 95.262451 -65.514101
    Unten rechts KachelX + 1 100221 KachelY + 1 97409 1.66269136 -1.14343677 95.265198 -65.514101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14341690--1.14343677) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dl = 126.59177000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14341690--1.14343677) × R
    1.98700000000329e-05 × 6371000     		dr = 126.59177000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66264343-1.66269136) × cos(-1.14341690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414487362458354 × 6371000     		do = 126.568702409706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66264343-1.66269136) × cos(-1.14343677) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.414469279582336 × 6371000     		du = 126.563180585977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14341690)-sin(-1.14343677))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414487362458354-0.414469279582336)×R²
    abs(1.66269136-1.66264343)×1.80828760186214e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80828760186214e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80828760186214e-05×40589641000000     		ar = 16022.2065563885m²