Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 100219 / 99228
↖ ↑ ↗
← S 67.504365°
E 95.259705°		 ← 116.86 m → S 67.504365°
E 95.262451°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.505416°
E 95.259705°		 ← 116.85 m →
13 654 m²		 S 67.505416°
E 95.262451°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100219 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764614105224609 y=0.757053375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764614105224609 × 217)
    floor (0.764614105224609 × 131072)
    floor (100219.5)     		tx = 100219
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757053375244141 × 217)
    floor (0.757053375244141 × 131072)
    floor (99228.5)     		ty = 99228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100219 / 99228 ti = "17/100219/99228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100219/99228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100219 ÷ 217
    100219 ÷ 131072     		x = 0.764610290527344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99228 ÷ 217
    99228 ÷ 131072     		y = 0.757049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764610290527344 × 2 - 1) × π
    0.529220581054688 × 3.1415926535     		Λ = 1.66259549
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757049560546875 × 2 - 1) × π
    -0.51409912109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61509002199893
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66259549} λ = 1.66259549}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61509002199893))-π/2
    2×atan(0.198872766710975)-π/2
    2×0.196311447102757-π/2
    0.392622894205515-1.57079632675     		φ = -1.17817343
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66259549} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.259705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17817343 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.504365°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100219 KachelY 99228 1.66259549 -1.17817343 95.259705 -67.504365
    Oben rechts KachelX + 1 100220 KachelY 99228 1.66264343 -1.17817343 95.262451 -67.504365
    Unten links KachelX 100219 KachelY + 1 99229 1.66259549 -1.17819177 95.259705 -67.505416
    Unten rechts KachelX + 1 100220 KachelY + 1 99229 1.66264343 -1.17819177 95.262451 -67.505416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17817343--1.17819177) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17817343--1.17819177) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66259549-1.66264343) × cos(-1.17817343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382613045581251 × 6371000     		do = 116.859872580231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66259549-1.66264343) × cos(-1.17819177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382596101031631 × 6371000     		du = 116.854697278624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17817343)-sin(-1.17819177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382613045581251-0.382596101031631)×R²
    abs(1.66264343-1.66259549)×1.6944549620368e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6944549620368e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6944549620368e-05×40589641000000     		ar = 13654.0889607031m²