Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100218 / 99227
↖ ↑ ↗
← S 67.503314°
E 95.256958°		 ← 116.87 m → S 67.503314°
E 95.259705°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.504365°
E 95.256958°		 ← 116.86 m →
13 655 m²		 S 67.504365°
E 95.259705°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100218 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764606475830078 y=0.757045745849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764606475830078 × 217)
    floor (0.764606475830078 × 131072)
    floor (100218.5)     		tx = 100218
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757045745849609 × 217)
    floor (0.757045745849609 × 131072)
    floor (99227.5)     		ty = 99227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100218 / 99227 ti = "17/100218/99227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100218/99227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100218 ÷ 217
    100218 ÷ 131072     		x = 0.764602661132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99227 ÷ 217
    99227 ÷ 131072     		y = 0.757041931152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764602661132812 × 2 - 1) × π
    0.529205322265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66254755
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757041931152344 × 2 - 1) × π
    -0.514083862304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.61504208509931
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66254755} λ = 1.66254755}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61504208509931))-π/2
    2×atan(0.198882300283333)-π/2
    2×0.196320617947363-π/2
    0.392641235894726-1.57079632675     		φ = -1.17815509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66254755} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.256958°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17815509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.503314°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100218 KachelY 99227 1.66254755 -1.17815509 95.256958 -67.503314
    Oben rechts KachelX + 1 100219 KachelY 99227 1.66259549 -1.17815509 95.259705 -67.503314
    Unten links KachelX 100218 KachelY + 1 99228 1.66254755 -1.17817343 95.256958 -67.504365
    Unten rechts KachelX + 1 100219 KachelY + 1 99228 1.66259549 -1.17817343 95.259705 -67.504365
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17815509--1.17817343) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17815509--1.17817343) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66254755-1.66259549) × cos(-1.17815509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382629990002178 × 6371000     		do = 116.865047842531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66254755-1.66259549) × cos(-1.17817343) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382613045581251 × 6371000     		du = 116.859872580231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17815509)-sin(-1.17817343))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382629990002178-0.382613045581251)×R²
    abs(1.66259549-1.66254755)×1.69444209263125e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69444209263125e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69444209263125e-05×40589641000000     		ar = 13654.6936620737m²