Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 100215 / 97398
↖ ↑ ↗
← S 65.501576°
E 95.248718°		 ← 126.65 m → S 65.501576°
E 95.251465°		 →
↑
126.66 m
↓
↑
126.66 m
↓
S 65.502715°
E 95.248718°		 ← 126.64 m →
16 041 m²		 S 65.502715°
E 95.251465°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 100215 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 97398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764583587646484 y=0.743091583251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764583587646484 × 217)
    floor (0.764583587646484 × 131072)
    floor (100215.5)     		tx = 100215
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743091583251953 × 217)
    floor (0.743091583251953 × 131072)
    floor (97398.5)     		ty = 97398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 100215 / 97398 ti = "17/100215/97398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/100215/97398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 100215 ÷ 217
    100215 ÷ 131072     		x = 0.764579772949219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 97398 ÷ 217
    97398 ÷ 131072     		y = 0.743087768554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764579772949219 × 2 - 1) × π
    0.529159545898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.66240374
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743087768554688 × 2 - 1) × π
    -0.486175537109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52736549569423
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66240374} λ = 1.66240374}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52736549569423))-π/2
    2×atan(0.217106883569361)-π/2
    2×0.213789081629218-π/2
    0.427578163258436-1.57079632675     		φ = -1.14321816
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66240374} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.248718°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14321816 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.501576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 100215 KachelY 97398 1.66240374 -1.14321816 95.248718 -65.501576
    Oben rechts KachelX + 1 100216 KachelY 97398 1.66245168 -1.14321816 95.251465 -65.501576
    Unten links KachelX 100215 KachelY + 1 97399 1.66240374 -1.14323804 95.248718 -65.502715
    Unten rechts KachelX + 1 100216 KachelY + 1 97399 1.66245168 -1.14323804 95.251465 -65.502715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14321816--1.14323804) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dl = 126.655479999823m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14321816--1.14323804) × R
    1.98799999999721e-05 × 6371000     		dr = 126.655479999823m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66240374-1.66245168) × cos(-1.14321816) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414668218615706 × 6371000     		do = 126.650347525101m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66240374-1.66245168) × cos(-1.14323804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.414650128276995 × 6371000     		du = 126.644822270013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14321816)-sin(-1.14323804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414668218615706-0.414650128276995)×R²
    abs(1.66245168-1.66240374)×1.80903387107523e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80903387107523e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80903387107523e-05×40589641000000     		ar = 16040.6106564761m²